Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 151
2014-06-07 
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$, сумма которых равна 1, справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i}}{2 - \alpha_{i}} \geq \frac{n}{2n-1}$.
Решение:
Обозначим $\beta_{i} = 2 - \alpha_{i} > 0 (i = 1, \cdots , n)$. Тогда, учитывая равенство $\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} = 2n - 1$ и теорему о средних, получаем
$\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}} +1 \right ) - n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\beta_{i}} – n = 2 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\beta_{i}} – n \geq$
$\geq 2 \frac{n}{\sqrt[n]{\beta_{1} \cdots \beta_{n}}} – n \geq \frac{2n^{2}}{\beta_{1} + \cdots + \beta_{n}} – n = \frac{2n^{2}}{2n-1} – n = \frac{n}{2n-1}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$, сумма которых равна 1, справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i}}{2 - \alpha_{i}} \geq \frac{n}{2n-1}$.
Решение:
Обозначим $\beta_{i} = 2 - \alpha_{i} > 0 (i = 1, \cdots , n)$. Тогда, учитывая равенство $\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} = 2n - 1$ и теорему о средних, получаем
$\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}} +1 \right ) - n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\beta_{i}} – n = 2 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\beta_{i}} – n \geq$
$\geq 2 \frac{n}{\sqrt[n]{\beta_{1} \cdots \beta_{n}}} – n \geq \frac{2n^{2}}{\beta_{1} + \cdots + \beta_{n}} – n = \frac{2n^{2}}{2n-1} – n = \frac{n}{2n-1}$,
что и требовалось доказать.
