Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1508
2019-01-19 
На доске записаны числа $1,2,3,\cdots, 1000$. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на три, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет - то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
Решение:
Укажем, как партнер начинающего может гарантировать себе выигрыш. В начале партии он должен стирать числа, кратные 3 до тех пор, пока таковых не останется. Поскольку количество чисел, не превосходящих 1000 и кратных 3, равно 333, то партнеру начинающего понадобится не более 333 ходов для того, чтобы ни одно из оставшихся на доске чисел не делилось на 3 (некоторые из чисел, кратных 3, могут быть стерты и начинающим). После этого партнер начинающего делает свои ходы произвольно вплоть до того момента, когда на доске останутся три числа. Каждое из них будет давать остаток 1 и 2 при делении на 3, поэтому среди трех остающихся на доске чисел обязательно найдутся два, дающие одинаковые остатки. Именно их должен оставить партнер начинающего (сумма не будет делиться на 3).
Ответ. Выигрывает партнер игрока, делающего первый ход.
На доске записаны числа $1,2,3,\cdots, 1000$. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на три, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет - то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
Решение:
Укажем, как партнер начинающего может гарантировать себе выигрыш. В начале партии он должен стирать числа, кратные 3 до тех пор, пока таковых не останется. Поскольку количество чисел, не превосходящих 1000 и кратных 3, равно 333, то партнеру начинающего понадобится не более 333 ходов для того, чтобы ни одно из оставшихся на доске чисел не делилось на 3 (некоторые из чисел, кратных 3, могут быть стерты и начинающим). После этого партнер начинающего делает свои ходы произвольно вплоть до того момента, когда на доске останутся три числа. Каждое из них будет давать остаток 1 и 2 при делении на 3, поэтому среди трех остающихся на доске чисел обязательно найдутся два, дающие одинаковые остатки. Именно их должен оставить партнер начинающего (сумма не будет делиться на 3).
Ответ. Выигрывает партнер игрока, делающего первый ход.
