Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1507
2019-01-19 
Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один - остроугольный.
Решение:
Для любого треугольника данного разбиения окружность, описанная около правильного 1997-угольника, является описанной. Так как центр окружности, описанной около правильного 1997-угольника, не лежит на диагонали, то он попадет внутрь какого-то одного треугольника. Треугольник остроугольный, если центр описанной окружности лежит внутри, и тупоугольный, если центр описанной окружности лежит вне. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности - остроугольный, все остальные - тупоугольные.
Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один - остроугольный.
Решение:
Для любого треугольника данного разбиения окружность, описанная около правильного 1997-угольника, является описанной. Так как центр окружности, описанной около правильного 1997-угольника, не лежит на диагонали, то он попадет внутрь какого-то одного треугольника. Треугольник остроугольный, если центр описанной окружности лежит внутри, и тупоугольный, если центр описанной окружности лежит вне. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности - остроугольный, все остальные - тупоугольные.
