Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1505
2019-01-19 
Найдите все такие пары простых чисел $p$ и $q$, что $p^3 - q^5 = (p + q)^2$.
Решение:
Пусть сначала ни одно из чисел $p, q$ не делится на 3. Если остатки от деления $p$ и $q$ на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая - нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая - нет. Пусть теперь $p$ делится на 3, тогда $p = 3$. Из равенства $p^3 - q^5 = {(p + q)}^2 > 0$ следует $p^3 > q^5$ и $q^5 < 27$, что невозможно. Пусть, наконец, $q$ делится на 3, тогда $q = 3$ и $p^3 - 243 = {(p + 3)}^2, р(p^2 - p - 6) = 252$, откуда $р$ - простой делитель 252, т. е. 2, 3 или 7. Проверка оставляет только $р = 7, (р, q) = (7, 3)$.
Ответ. $p = 7, q = 3$.
Найдите все такие пары простых чисел $p$ и $q$, что $p^3 - q^5 = (p + q)^2$.
Решение:
Пусть сначала ни одно из чисел $p, q$ не делится на 3. Если остатки от деления $p$ и $q$ на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая - нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая - нет. Пусть теперь $p$ делится на 3, тогда $p = 3$. Из равенства $p^3 - q^5 = {(p + q)}^2 > 0$ следует $p^3 > q^5$ и $q^5 < 27$, что невозможно. Пусть, наконец, $q$ делится на 3, тогда $q = 3$ и $p^3 - 243 = {(p + 3)}^2, р(p^2 - p - 6) = 252$, откуда $р$ - простой делитель 252, т. е. 2, 3 или 7. Проверка оставляет только $р = 7, (р, q) = (7, 3)$.
Ответ. $p = 7, q = 3$.
