Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 150
2014-06-07 
Доказать, что при всех $\alpha \in \mathbf{R}$ выполнено неравенство
$\sin (\cos \alpha) < \cos (\sin \alpha)$.
Решение:
Пусть $\alpha \in [0;\pi /2)$. Тогда, во-первых, подставляя $x = \cos \alpha$ в неравенство $\sin x < x$. справедливое при $x > 0$, получаем оценку $\sin (\cos \alpha) < \cos \alpha$. Во-вторых, из неравенства $\alpha \geq \sin \alpha$ имеем оценку $\cos \alpha \leq \cos (\sin \alpha)$, так как функция $\cos x$ убывает при $x \in [0; \pi /2)$. Таким образом, $\sin (\cos \alpha) < \cos \alpha \leq \cos (\sin \alpha)$, т. е. требуемое неравенство доказано при $\alpha \in [0; \pi /2)$. Далее, при $\alpha \in [\pi /2; \pi]$ имеем $\sin (\cos \alpha) \leq 0 < \cos (\sin \alpha)$, т. е. неравенство выполняется и при $\alpha \in [\pi / 2, \pi)$. Учитывая четность функций $\sin (\cos x)$ и $\cos (\sin x)$, получаем требуемое неравенство для $\alpha \in [-\pi; \pi]$, а поскольку число $2 \pi$ является периодом этих функций, то неравенство справедливо при всех $\alpha \in \mathbf{R}$.
Доказать, что при всех $\alpha \in \mathbf{R}$ выполнено неравенство
$\sin (\cos \alpha) < \cos (\sin \alpha)$.
Решение:
Пусть $\alpha \in [0;\pi /2)$. Тогда, во-первых, подставляя $x = \cos \alpha$ в неравенство $\sin x < x$. справедливое при $x > 0$, получаем оценку $\sin (\cos \alpha) < \cos \alpha$. Во-вторых, из неравенства $\alpha \geq \sin \alpha$ имеем оценку $\cos \alpha \leq \cos (\sin \alpha)$, так как функция $\cos x$ убывает при $x \in [0; \pi /2)$. Таким образом, $\sin (\cos \alpha) < \cos \alpha \leq \cos (\sin \alpha)$, т. е. требуемое неравенство доказано при $\alpha \in [0; \pi /2)$. Далее, при $\alpha \in [\pi /2; \pi]$ имеем $\sin (\cos \alpha) \leq 0 < \cos (\sin \alpha)$, т. е. неравенство выполняется и при $\alpha \in [\pi / 2, \pi)$. Учитывая четность функций $\sin (\cos x)$ и $\cos (\sin x)$, получаем требуемое неравенство для $\alpha \in [-\pi; \pi]$, а поскольку число $2 \pi$ является периодом этих функций, то неравенство справедливо при всех $\alpha \in \mathbf{R}$.
