Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1498
2019-01-19 
В треугольнике $ABC$ взята точка $O$ такая, что $\angle COA = \angle B + 60°, \angle COB = \angle A + 60^{\circ} , \angle AOB = \angle C + 60^{\circ}$. Докажите, что если из отрезков $AO, BO, CO$ можно составить треугольник, то из высот треугольника $ABC$ тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Решение:
Пусть $D$ - точка пересечения продолжения $CO$ с окружностью, описанной около треугольника $ABC$. Тогда $ \angle BDO = \angle A \Rightarrow \angle OBD = \angle COB - \angle BDO = 60^{\circ}$. Аналогично, $ \angle OAD = 60^{\circ}$.
По теореме синусов для $ \triangle OBD \frac {BO}{ \sin A}= \frac {OD}{ \sin60^{\circ}}$.
По теореме синусов для $ \triangle OAD \frac {AO}{ \sin B}= \frac {OD}{ \sin60^{\circ}}$.
Поэтому $\frac {BO}{\sin A} = \frac {AO}{\sin B}, \frac {BO}{\frac {h_b}{c}} = \frac {AO}{\frac {h_a}{c}}, \frac {BO}{h_b} = \frac {AO}{h_a}$.
Аналогично, последнее отношение равно $\frac {CO}{h_c}$ что и доказывает подобие треугольников.
В треугольнике $ABC$ взята точка $O$ такая, что $\angle COA = \angle B + 60°, \angle COB = \angle A + 60^{\circ} , \angle AOB = \angle C + 60^{\circ}$. Докажите, что если из отрезков $AO, BO, CO$ можно составить треугольник, то из высот треугольника $ABC$ тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Решение:
Пусть $D$ - точка пересечения продолжения $CO$ с окружностью, описанной около треугольника $ABC$. Тогда $ \angle BDO = \angle A \Rightarrow \angle OBD = \angle COB - \angle BDO = 60^{\circ}$. Аналогично, $ \angle OAD = 60^{\circ}$.
По теореме синусов для $ \triangle OBD \frac {BO}{ \sin A}= \frac {OD}{ \sin60^{\circ}}$.
По теореме синусов для $ \triangle OAD \frac {AO}{ \sin B}= \frac {OD}{ \sin60^{\circ}}$.
Поэтому $\frac {BO}{\sin A} = \frac {AO}{\sin B}, \frac {BO}{\frac {h_b}{c}} = \frac {AO}{\frac {h_a}{c}}, \frac {BO}{h_b} = \frac {AO}{h_a}$.
Аналогично, последнее отношение равно $\frac {CO}{h_c}$ что и доказывает подобие треугольников.
