Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1497
2019-01-19 
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых различных натуральных $a, b, c$ и $d$ среди чисел $\frac {(а - c)(b - d)}{(b - с)(а - d)}, \frac {(b - c)(a - d)}{(a - с)(b - d)}, \frac {(а - b)(d - c)}{(a - d)(b - c)}, \frac {(а - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}$, есть по крайней мере два числа, равных $n$.
Решение:
Пусть $k=\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$. Тогда $\frac{(b-c)(a-d)}{(a-c)(b-d)}=\frac{1}{k},\frac{(a-b)(d-c)}{(a-d)(b-c)}=\frac{ad-ac-bd+bc}{(b-c)(a-d)}=\frac{(b-c)(a-d) - (a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}=1-k, \frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}= - \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}\cdot \frac{(a-d)(b-c)}{(a-b)(d-c)}= - \frac{k}{1-k}$.
Пусть два из этих чисел совпадают. Заметим, что при натуральном $k$ равенства $k = 1 - k, \frac{1}{k} = 1 - k, \frac{1}{k} = - \frac{k}{1 - k}, 1 - k = - \frac{k}{1 - k}$ невозможны; следовательно, $n=k$ и либо $n = \frac{1}{n}$, либо $n = -\frac{n}{1-n}$.
Если $n = \frac{1}{n},$ то $n = 1$, значит, $(а - с)(b - d) = (b - с)(а - d) \Leftrightarrow bd - ad - bc + ac = 0 \Leftrightarrow (b - a)(d - c) = 0$, и тогда среди чисел $a, b, c$ и $d$ были бы равные. Остается $n=-\frac{n}{1-n}$ т. е. n = 2. Значение n = 2 принимается, например, при $a =1, b = 3, c = 4, d = 7$.
Ответ. $n = 2$.
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых различных натуральных $a, b, c$ и $d$ среди чисел $\frac {(а - c)(b - d)}{(b - с)(а - d)}, \frac {(b - c)(a - d)}{(a - с)(b - d)}, \frac {(а - b)(d - c)}{(a - d)(b - c)}, \frac {(а - c)(b - d)}{(a - b)(c - d)}$, есть по крайней мере два числа, равных $n$.
Решение:
Пусть $k=\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$. Тогда $\frac{(b-c)(a-d)}{(a-c)(b-d)}=\frac{1}{k},\frac{(a-b)(d-c)}{(a-d)(b-c)}=\frac{ad-ac-bd+bc}{(b-c)(a-d)}=\frac{(b-c)(a-d) - (a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}=1-k, \frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}= - \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}\cdot \frac{(a-d)(b-c)}{(a-b)(d-c)}= - \frac{k}{1-k}$.
Пусть два из этих чисел совпадают. Заметим, что при натуральном $k$ равенства $k = 1 - k, \frac{1}{k} = 1 - k, \frac{1}{k} = - \frac{k}{1 - k}, 1 - k = - \frac{k}{1 - k}$ невозможны; следовательно, $n=k$ и либо $n = \frac{1}{n}$, либо $n = -\frac{n}{1-n}$.
Если $n = \frac{1}{n},$ то $n = 1$, значит, $(а - с)(b - d) = (b - с)(а - d) \Leftrightarrow bd - ad - bc + ac = 0 \Leftrightarrow (b - a)(d - c) = 0$, и тогда среди чисел $a, b, c$ и $d$ были бы равные. Остается $n=-\frac{n}{1-n}$ т. е. n = 2. Значение n = 2 принимается, например, при $a =1, b = 3, c = 4, d = 7$.
Ответ. $n = 2$.
