Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1495
2019-01-19 
Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Решение:
Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень ее производной. Поэтому производная ${P}^{ \prime} x$ имеет по крайней мере $n - 1$ различных действительных корней. Поскольку ${P}^{ \prime} x$ - многочлен степени $n - 1$, отсюда следует, что все его действительные корни различны. По индукции тем же свойством обладают и все производные $P^(k)(x) (k = 2, \cdots, n - 1)$. Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена $P(x)$ хотя бы один не равен 0. В самом деле, пусть у $P(x)$ равны нулю коэффициенты при $x^k$ и $x^{k+1}$. Тогда у $P^(k)(x)$ равны нулю свободный член и коэффициент при $x$. Но это означает, что 0 - кратный корень многочлена $P^{(k)}(x)$, все корни которого должны быть различными.
Разобьем коэффициенты многочлена $P(x)$ на пары стоящих рядом (оставив при четном $n$ старший коэффициент без пары). Поскольку старший коэффициент многочлена не равен 0, число нулевых коэффициентов не превышает числа полных пар, т. е. $ \frac {n}{2}$ при четном $n$ и 2 при нечетном. С другой стороны, многочлены $(x^2 - 1)(x^2 - 4)\cdots (x^2 - k^2)$ и $x(x^2 - 1) \cdots (x^2 - k^2)$ дают примеры, когда число нулевых коэффициентов равно $ \frac {n}{2}$ при $n = 2k$ и $\frac{n+1}{2}$ при $n = 2k + 1$.
Ответ. $ \frac{n} {2}$ при четном $n, \frac {n+1}{2}$ при нечетном $n$.
Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Решение:
Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень ее производной. Поэтому производная ${P}^{ \prime} x$ имеет по крайней мере $n - 1$ различных действительных корней. Поскольку ${P}^{ \prime} x$ - многочлен степени $n - 1$, отсюда следует, что все его действительные корни различны. По индукции тем же свойством обладают и все производные $P^(k)(x) (k = 2, \cdots, n - 1)$. Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена $P(x)$ хотя бы один не равен 0. В самом деле, пусть у $P(x)$ равны нулю коэффициенты при $x^k$ и $x^{k+1}$. Тогда у $P^(k)(x)$ равны нулю свободный член и коэффициент при $x$. Но это означает, что 0 - кратный корень многочлена $P^{(k)}(x)$, все корни которого должны быть различными.
Разобьем коэффициенты многочлена $P(x)$ на пары стоящих рядом (оставив при четном $n$ старший коэффициент без пары). Поскольку старший коэффициент многочлена не равен 0, число нулевых коэффициентов не превышает числа полных пар, т. е. $ \frac {n}{2}$ при четном $n$ и 2 при нечетном. С другой стороны, многочлены $(x^2 - 1)(x^2 - 4)\cdots (x^2 - k^2)$ и $x(x^2 - 1) \cdots (x^2 - k^2)$ дают примеры, когда число нулевых коэффициентов равно $ \frac {n}{2}$ при $n = 2k$ и $\frac{n+1}{2}$ при $n = 2k + 1$.
Ответ. $ \frac{n} {2}$ при четном $n, \frac {n+1}{2}$ при нечетном $n$.
