Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1494
2019-01-19 
Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса $\frac {1}{\sqrt {3}}$ с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.
Решение:
Предположим противное, что точка $O$ треугольника не покрыта кругами. Тогда $ОА > \frac{1}{\sqrt{3}}, ОВ > \frac{1}{\sqrt{3}}, ОС > \frac{1}{\sqrt{3}}$ и один из углов $ \angle AOB, \angle BOC, \angle AOC$ не меньше $120^{\circ}$. Пусть это угол $ \angle AOC$. Тогда, по теореме косинусов, имеем
${AC}^2 = {OA}^2 + {OC}^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos \alpha$.
Но $- \cos \alpha \geq cos 60^{\circ}$, так как $ \alpha \geq 120^{\circ}$ и, следовательно,
${AC}^2 = {OA}^2 + {OC}^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos \alpha \geq {OA}^2 + {OC}^2 + OA \cdot OC > \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
Следовательно $AC > 1$, и полученное противоречие доказывает утверждение.
Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса $\frac {1}{\sqrt {3}}$ с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.
Решение:
Предположим противное, что точка $O$ треугольника не покрыта кругами. Тогда $ОА > \frac{1}{\sqrt{3}}, ОВ > \frac{1}{\sqrt{3}}, ОС > \frac{1}{\sqrt{3}}$ и один из углов $ \angle AOB, \angle BOC, \angle AOC$ не меньше $120^{\circ}$. Пусть это угол $ \angle AOC$. Тогда, по теореме косинусов, имеем
${AC}^2 = {OA}^2 + {OC}^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos \alpha$.
Но $- \cos \alpha \geq cos 60^{\circ}$, так как $ \alpha \geq 120^{\circ}$ и, следовательно,
${AC}^2 = {OA}^2 + {OC}^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos \alpha \geq {OA}^2 + {OC}^2 + OA \cdot OC > \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
Следовательно $AC > 1$, и полученное противоречие доказывает утверждение.
