Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1491
2019-01-19 
Дан треугольник $A_0B_0C_0$. На отрезке $A_0B_0$ отмечены точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$, а на отрезке $B_0C_0$ - точки $C_1, C_2, \cdots, C_n$ так, что все отрезки $A_iC_{i+1}$ $(i = 0,1,\cdots, {n-1})$ параллельны между собой и все отрезки $C_iA_i+1$ ($i = 0, 1, \cdots, {n - 1})$ - тоже. Отрезки $C_0A_1, A_1C_2, A_2C_1$ и $C_1A_0$ ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки $C_1A_2, A_2C_3, A_3C_2$ и $C_2A_1$ - тоже, и т. д. Докажите, что сумма площадей всех $n - 1$ получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника $A_0B_0C_0$.
Решение:
Обозначим точки пересечения отрезков $A_iC_{i+1}$ и $C_iA_{i+1}$ через $D_i (i = 0,1,.. .,n - 1)$ (рис.).
Проведем через точку $D_1$ прямые $D_1F \parallel A_0B_0$ и $D_1G \parallel B_0C_0$. Тогда $A_0A_1D_1F$ - параллелограмм, равновеликий параллелограмму $D_0A_1D_1C_1$, так как он имеет общее с ним основание $A_1D_1$ и равную высоту. Аналогично, равновелики параллелограммы $C_0GD_1C_1$ и $D_0A_1D_1C_1$. Таким образом
$S_{D_0A_1D_1C_1}=\frac {1}{2}(S_{A_0A_1D_1F}+S_{C_0GD_1F})< \frac {1}{2}S_{A_0A_1D_1C_1C_0D_0}$.
Аналогично, $S_{D_1A_2D_2C_2}< \frac{1}{2}S_{A_1A_2D_2C_2C_1D_1}$, и т. д. Поэтому сумма площадей всех $n - 1$ параллелограммов меньше
$ \frac {1}{2}(S_{A_0B_0C_0}-S_{A_0D_0C_0})< \frac {1}{2}S_{A_0B_0C_0}$.
Дан треугольник $A_0B_0C_0$. На отрезке $A_0B_0$ отмечены точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$, а на отрезке $B_0C_0$ - точки $C_1, C_2, \cdots, C_n$ так, что все отрезки $A_iC_{i+1}$ $(i = 0,1,\cdots, {n-1})$ параллельны между собой и все отрезки $C_iA_i+1$ ($i = 0, 1, \cdots, {n - 1})$ - тоже. Отрезки $C_0A_1, A_1C_2, A_2C_1$ и $C_1A_0$ ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки $C_1A_2, A_2C_3, A_3C_2$ и $C_2A_1$ - тоже, и т. д. Докажите, что сумма площадей всех $n - 1$ получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника $A_0B_0C_0$.
Решение:
Обозначим точки пересечения отрезков $A_iC_{i+1}$ и $C_iA_{i+1}$ через $D_i (i = 0,1,.. .,n - 1)$ (рис.).
Проведем через точку $D_1$ прямые $D_1F \parallel A_0B_0$ и $D_1G \parallel B_0C_0$. Тогда $A_0A_1D_1F$ - параллелограмм, равновеликий параллелограмму $D_0A_1D_1C_1$, так как он имеет общее с ним основание $A_1D_1$ и равную высоту. Аналогично, равновелики параллелограммы $C_0GD_1C_1$ и $D_0A_1D_1C_1$. Таким образом
$S_{D_0A_1D_1C_1}=\frac {1}{2}(S_{A_0A_1D_1F}+S_{C_0GD_1F})< \frac {1}{2}S_{A_0A_1D_1C_1C_0D_0}$.
Аналогично, $S_{D_1A_2D_2C_2}< \frac{1}{2}S_{A_1A_2D_2C_2C_1D_1}$, и т. д. Поэтому сумма площадей всех $n - 1$ параллелограммов меньше
$ \frac {1}{2}(S_{A_0B_0C_0}-S_{A_0D_0C_0})< \frac {1}{2}S_{A_0B_0C_0}$.
