ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-19   
В каждой клетке квадратной таблицы размером $n \times n$ клеток ($n \geq 3$) записано число 1 или -1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить $n$ получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число $n$ делится на 4.


Решение:


Заметим, что если все числа в одном столбце умножить на -1, то свойство таблицы сохранится. То же верно для перестановки двух столбцов.

Поэтому можно добиться того, что в первой строке стоят 1, и, по свойству таблицы для первой и второй строк, $n = 2m$. Переставляя столбцы, можно добиться, что во второй строке будут стоять первые $m$ единиц и следующие $m$ "-1".

Возьмем третью строку таблицы, обозначим через $x_1$ количество единиц в первых $m$ столбцах, $x_2$ - количество "-1" в первых $m$ столбцах, $x_3$ - количество единиц в последних $m$ столбцах, и $x_4$ - количество "-1" в последних $m$ столбцах. Тогда из свойства таблицы для первой и третьей строк, а также для второй и третьей строк получаем:

$x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 0, x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 0$.

Также имеем

$x_1 + x_2 = m$,
$x_3 + x_4 = m$.

Складывая первое и второе равенство, получаем

$2(x_1 - x_2) = 0$.

Следовательно, $x_1 = x_2 \Rightarrow x_3 = x_4$. Отсюда

$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = \frac{m}{2}$, т.е. $n$ делится на 4.