Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1486
2019-01-19 
Докажите, что если $0 < а, b < 1$, то $\frac {ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} < \frac {1}{4}$.
Решение:
Пусть $ab = u^2; a + b = v$. Учитывая, что $v \geq 2u$ (так как $a + b \geq 2 \sqrt {ab}$), получаем:
$ \frac {ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2}= \frac {u^2(1-v+u^2)}{(1-u^2)^2} \leq \frac {u^2(1-2u+u^2}{(1-u^2)^2} = \frac {u^2}{(1+u)^2}< \frac {1}{4}$
так как $ \frac {u}{1+u}< \frac {1}{2} \Leftrightarrow u < 1$.
Докажите, что если $0 < а, b < 1$, то $\frac {ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2} < \frac {1}{4}$.
Решение:
Пусть $ab = u^2; a + b = v$. Учитывая, что $v \geq 2u$ (так как $a + b \geq 2 \sqrt {ab}$), получаем:
$ \frac {ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^2}= \frac {u^2(1-v+u^2)}{(1-u^2)^2} \leq \frac {u^2(1-2u+u^2}{(1-u^2)^2} = \frac {u^2}{(1+u)^2}< \frac {1}{4}$
так как $ \frac {u}{1+u}< \frac {1}{2} \Leftrightarrow u < 1$.
