Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1485
2019-01-19 
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Решение:
Если у числа $n$ шесть делителей, то $n = p^5$ ($p$ - простое) или $n = p^2q$, где $p$ и $q$ - различные простые числа.
В первом случае $1+p + p^2 + p^3 + p^4 + p^5 = 3500$. $p(1 + p + p^2 + p^3 + p^4) = 3500 - 1 = 3499$. Число 3499 не делится на 2, 3, 5 и 7, поэтому $р > 10$, но в этом случае $p + (1 + p + p^2 + p^3 + p^4) > {10}^5 > 3499$. Поэтому это уравнение решений в простых числах не имеет. Во втором случае $1 + p + p^2 + q + pq + p^2q = 3500$, т. е. $(1 + p + p^2)(1 + q) = 5^3 \cdot 7 \cdot 4$.
Первый множитель нечетен и некратен 5. (Чтобы убедиться в этом, достаточно это утверждение проверить для соответствующих остатков). Отсюда, учитывая, что $1 + p + p^2 > 1$, имеем $1 + p + p^2 = 7$. Значит, $p = 2$ ($p = -3$ - не подходит), и $q = 499$.
Числа 2 и 499 - простые. Искомое число $n = 2^2 \cdot 499 = 1996$.
Ответ. $n = 1996$.
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Решение:
Если у числа $n$ шесть делителей, то $n = p^5$ ($p$ - простое) или $n = p^2q$, где $p$ и $q$ - различные простые числа.
В первом случае $1+p + p^2 + p^3 + p^4 + p^5 = 3500$. $p(1 + p + p^2 + p^3 + p^4) = 3500 - 1 = 3499$. Число 3499 не делится на 2, 3, 5 и 7, поэтому $р > 10$, но в этом случае $p + (1 + p + p^2 + p^3 + p^4) > {10}^5 > 3499$. Поэтому это уравнение решений в простых числах не имеет. Во втором случае $1 + p + p^2 + q + pq + p^2q = 3500$, т. е. $(1 + p + p^2)(1 + q) = 5^3 \cdot 7 \cdot 4$.
Первый множитель нечетен и некратен 5. (Чтобы убедиться в этом, достаточно это утверждение проверить для соответствующих остатков). Отсюда, учитывая, что $1 + p + p^2 > 1$, имеем $1 + p + p^2 = 7$. Значит, $p = 2$ ($p = -3$ - не подходит), и $q = 499$.
Числа 2 и 499 - простые. Искомое число $n = 2^2 \cdot 499 = 1996$.
Ответ. $n = 1996$.
