Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1483
2019-01-19 
Пусть $a, b$ и $с$ - попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения $\frac {(a+b)+(b+c)(c+a)}{abc}$, если известно, что это число целое.
Решение:
Пусть $ \frac {(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = n$ - целое число, тогда
$(a + b)(b + c)(c + a) = n \cdot abc$. (1)
Если среди чисел $a, b$ и $c$ есть равные, то можно считать, ввиду симметричности выражения (1), что $a = b$. Тогда $(a, b) = a = 1$ и выражение (1) принимает вид ${(1 + c)(1 + c)}^2 = nc$. Откуда следует, что $2 \vdots c$ и, значит, $c = 1$ или $c = 2$. В первом случае $n = 8$, а во втором $n = 9$. Если числа $а, b$ и $с$ попарно различны, то можно считать, что $а < b < с$. Если два числа взаимно просты, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из (1) следует, что
$a + b = mc$ (2)
и
$а + с = kb$, (3)
$m$ и $k$ - натуральные числа.
Так как $а + b < 2c$, то $mc < 2c$ и, значит, $m < 2$, т. е. $m = 1$ и, следовательно,
$а + b = с$. (4)
Выразив из (3) с и подставив в (4), получим $а + b = kb - а$ или $2а = b(k - 1)$.
Так как $а$ и $b$ взаимно просты, то $2 \vdots b$. Учитывая, что $1 \leq а < b$ получаем, что $b > 1$ и, значит, $b = 2$. Тогда $а = 1$ и $с = 3$. Легко убедиться, что эти значения удовлетворяют условиям задачи и дают значение $n = 10$.
Ответ. 8,9,10.
Пусть $a, b$ и $с$ - попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения $\frac {(a+b)+(b+c)(c+a)}{abc}$, если известно, что это число целое.
Решение:
Пусть $ \frac {(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = n$ - целое число, тогда
$(a + b)(b + c)(c + a) = n \cdot abc$. (1)
Если среди чисел $a, b$ и $c$ есть равные, то можно считать, ввиду симметричности выражения (1), что $a = b$. Тогда $(a, b) = a = 1$ и выражение (1) принимает вид ${(1 + c)(1 + c)}^2 = nc$. Откуда следует, что $2 \vdots c$ и, значит, $c = 1$ или $c = 2$. В первом случае $n = 8$, а во втором $n = 9$. Если числа $а, b$ и $с$ попарно различны, то можно считать, что $а < b < с$. Если два числа взаимно просты, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из (1) следует, что
$a + b = mc$ (2)
и
$а + с = kb$, (3)
$m$ и $k$ - натуральные числа.
Так как $а + b < 2c$, то $mc < 2c$ и, значит, $m < 2$, т. е. $m = 1$ и, следовательно,
$а + b = с$. (4)
Выразив из (3) с и подставив в (4), получим $а + b = kb - а$ или $2а = b(k - 1)$.
Так как $а$ и $b$ взаимно просты, то $2 \vdots b$. Учитывая, что $1 \leq а < b$ получаем, что $b > 1$ и, значит, $b = 2$. Тогда $а = 1$ и $с = 3$. Легко убедиться, что эти значения удовлетворяют условиям задачи и дают значение $n = 10$.
Ответ. 8,9,10.
