Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1482
2019-01-19 
В треугольнике $ABC$, в котором $AB = BC$, на стороне $AB$ выбрана точка $D$, и вокруг треугольников $ADC$ и $BDC$ описаны окружности $S_1$ и $S_2$ соответственно. Касательная, проведенная к $S_1$ в точке $D$, пересекает второй раз $S_2$ в точке $M$. Докажите, что $BM \parallel AC$.
Решение:
Первое решение. Имеем: $ \angle DAC = \angle CDM$, так как оба измеряются половиной дуги $DC$ окружности $S_1$. Далее, $ \angle CBM = \angle CDM$ как вписанные и опирающиеся на одну дугу. Но $ \angle DAC = \angle BCA$, откуда $\angle BCA = \angle CBM$, т. е. $BM \parallel AC$.
Второе решение. Пусть биссектриса угла B треугольника $ABC$ вторично пересекает $S_2$ в точке $O$.Тогда $OD = OC$ как хорды окружности $S_2$, стягивающие равные дуги.Ясно также, что $OA = OC$, а следовательно, $O$ - центр окружности $S_1$.Теперь $ \angle OBM = \angle ODM = 90^{\circ}$, откуда $BO$ перпендикулярна $BM$ и $AC$, а, значит, $BM \parallel AC$.
В треугольнике $ABC$, в котором $AB = BC$, на стороне $AB$ выбрана точка $D$, и вокруг треугольников $ADC$ и $BDC$ описаны окружности $S_1$ и $S_2$ соответственно. Касательная, проведенная к $S_1$ в точке $D$, пересекает второй раз $S_2$ в точке $M$. Докажите, что $BM \parallel AC$.
Решение:
Первое решение. Имеем: $ \angle DAC = \angle CDM$, так как оба измеряются половиной дуги $DC$ окружности $S_1$. Далее, $ \angle CBM = \angle CDM$ как вписанные и опирающиеся на одну дугу. Но $ \angle DAC = \angle BCA$, откуда $\angle BCA = \angle CBM$, т. е. $BM \parallel AC$.
Второе решение. Пусть биссектриса угла B треугольника $ABC$ вторично пересекает $S_2$ в точке $O$.Тогда $OD = OC$ как хорды окружности $S_2$, стягивающие равные дуги.Ясно также, что $OA = OC$, а следовательно, $O$ - центр окружности $S_1$.Теперь $ \angle OBM = \angle ODM = 90^{\circ}$, откуда $BO$ перпендикулярна $BM$ и $AC$, а, значит, $BM \parallel AC$.
