Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1480
2019-01-03 
Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Решение:
Первое решение. Обозначим $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{DE} = \vec{c}$ и $\vec{BF} = \vec{d}$ рис. Тогда $\vec{DF} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{a}$, $\vec{AE} = \vec{a} + \vec{c}$,
$\vec{AF} = \vec{b} + \vec{d}$, $\vec{BE} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$. По условию $DF \perp AE$ и $AD \perp DE$, поэтому $\left ( \vec{b} + \vec{d} - \vec{a} \right ) \left ( \vec{a} + \vec{c} \right ) = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right )\left ( \vec{a} + \vec{c} \right ) - \left | \vec{a} \right |^2 = 0$. Так как $AB \perp BF$, то $\vec{AB} \cdot \vec{BE} = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right ) \cdot \left ( \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} \right) = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right ) \cdot \left ( \vec{a} + \vec{c} \right) - \left | \vec{b} \right |^{2}$.
Отсюда в силу условия $\left | \vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |$ следует, что $\vec{AF} \cdot \vec{BE} =0$ , т. е. $AF \perp BE$.
Второе решение. Воспользуемся тем, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов егj противоположных сторон равны. Тогда условия задачи можно переформулировать так: если $AB=AD$ и $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$, то из равенства $FE^{2}+AD^{2}=ED^{2}+FA^{2}$ следует равенство $FE^{2}+AB^{2}=BF^{2}+AE^{2}$. Левые части этих равенств равны, поэтому нам достаточно проверить, что $ED^{2}+FA^{2}=BF^{2}+AE^{2}$ или $FA^{2}+BF^{2}=AE^{2}+ED^{2}$. Последнее следует из равенства катетов $AB$ и $AD$ прямоугольных треугольников $FBA$ и $EDA$.
Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Решение:
Первое решение. Обозначим $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{DE} = \vec{c}$ и $\vec{BF} = \vec{d}$ рис. Тогда $\vec{DF} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{a}$, $\vec{AE} = \vec{a} + \vec{c}$,
$\vec{AF} = \vec{b} + \vec{d}$, $\vec{BE} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$. По условию $DF \perp AE$ и $AD \perp DE$, поэтому $\left ( \vec{b} + \vec{d} - \vec{a} \right ) \left ( \vec{a} + \vec{c} \right ) = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right )\left ( \vec{a} + \vec{c} \right ) - \left | \vec{a} \right |^2 = 0$. Так как $AB \perp BF$, то $\vec{AB} \cdot \vec{BE} = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right ) \cdot \left ( \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} \right) = \left ( \vec{b} + \vec{d} \right ) \cdot \left ( \vec{a} + \vec{c} \right) - \left | \vec{b} \right |^{2}$.
Отсюда в силу условия $\left | \vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |$ следует, что $\vec{AF} \cdot \vec{BE} =0$ , т. е. $AF \perp BE$.
Второе решение. Воспользуемся тем, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов егj противоположных сторон равны. Тогда условия задачи можно переформулировать так: если $AB=AD$ и $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$, то из равенства $FE^{2}+AD^{2}=ED^{2}+FA^{2}$ следует равенство $FE^{2}+AB^{2}=BF^{2}+AE^{2}$. Левые части этих равенств равны, поэтому нам достаточно проверить, что $ED^{2}+FA^{2}=BF^{2}+AE^{2}$ или $FA^{2}+BF^{2}=AE^{2}+ED^{2}$. Последнее следует из равенства катетов $AB$ и $AD$ прямоугольных треугольников $FBA$ и $EDA$.
