ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что для любых чисел $a,b,c \in [0;1]$ справедливо неравенство
$\frac{a}{b+c+1} + \frac{b}{c+a+1} + \frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$.


Решение:


Если $a = b = c = 0$, то неравенство справедливо. Пусть $s = a + b + c > 0$, тогда
$\frac{a}{b+c+1} + \frac{b}{a+c+1} + \frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c)=$
$= \frac{a}{s} - \frac{a(1-a)}{s(b+c+1)} +\frac{b}{s} - \frac{b(1-b)}{s(a+c+1)} + \frac{c}{s} - \frac{c(1-c)}{s(a+b+1)} +$
$+ (1-a)(1-b)(1-c) \left ( \frac{a}{s}+ \frac{b}{s} + \frac{c}{s} \right ) = \left (\frac{a}{s}+ \frac{b}{s} + \frac{c}{s} \right ) -$
$- \frac{a(1-a)}{s} \left ( \frac{1}{b+c+1} – (1-b)(1-c) \right ) -$
$- \frac{b(1-b)}{s} \left ( \frac{1}{a+c+1} – (1-a)(1-c) \right ) -$
$- \frac{c(1-c)}{s} \left ( \frac{1}{a+b+1} – (1-b)(1-a) \right ) \leq 1$,
так как
$\frac{a}{s} + \frac{b}{s} +\frac{c}{s} =1, \frac{a(1-a)}{s} \left ( \frac{1}{b+c+1} – (1-b)(1-c) \right ) \geq 0$,
$\frac{b(1-b)}{s} \left ( \frac{1}{a+c+1} – (1-a)(1-c) \right ) \geq 0$,
$\frac{c(1-c)}{s} \left ( \frac{1}{a+b+1} – (1-b)(1-a) \right ) \geq 0$.
Для доказательства первого из трех последних неравенств достаточно заметить, что
$\frac{a(1-a)}{s} \geq 0$,
$\frac{1}{b+c+1} – (1-b)(1-c) = \frac{(b+c)^{2} – (b+c+1)bc}{b+c+1} \geq $
$\geq \frac{(b+c)^{2}-3bc}{b+c+1} = \frac{(b-c)^{2}+bc}{b+c+1} \geq 0$
Аналогично доказываются и два других неравенства.