Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1479
2019-01-03 
Рассматриваются всевозможные квадратичные функции $f\left ( x \right )= ax^{2}+bx+c$, такие, что $a < b$ и $f\left ( x \right ) \geq 0$ для всех $x$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\frac{a+b+c}{b-a}$?
Решение:
Из условия следует, что $a > 0$ и $b^{2} – 4ac \leq 0$, т.е. $c\geq \frac{b^{2}}{4a}$. Обозначим $A= \frac{a+b+c}{b-a}$. Тогда, поскольку $t=b-a > 0$, в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем:
$A\geq \frac{a+b+\frac{b^{2}}{4a}}{b-a}= \frac{4a^{2}+4ab+b^{2}}{4a\left ( b-a \right )}=\frac{9a^{2}+6at+t^{2}}{4at}= \frac{3}{2} + \frac{9a^{2}+t^{2}}{4at} \geq \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{9a^ {2}\cdot t^{2}}}{2at} = \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$,
причем равенство $A = 3$ достигается, если $c= \frac{b^{2}}{4a}$ и $t=3a$, т.е. при $b=c=4a$.
Следовательно, данное выражение принимает свое наименьшее значение, равное 3, когда $f\left (x \right )= ax^{2}+4ax+4a=a\left ( x+2 \right )^{2}$, где $a$ - произвольное положительное число.
Замечание. Пусть $g\left (t \right )= \frac{(t+2)^{2}}{4\left ( t-1 \right )}$. Нетрудно проверить, что $g\left ( \frac{b}{a} \right )=\frac{4a^{2}+4ab+b^{2}}{4a\left ( b-a \right )}$. Следовательно, наименьшее значение $A$ можно найти, исследовав функцию $g\left ( t \right )$ на экстремум при $t > 1$.
Ответ. 3.
Рассматриваются всевозможные квадратичные функции $f\left ( x \right )= ax^{2}+bx+c$, такие, что $a < b$ и $f\left ( x \right ) \geq 0$ для всех $x$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\frac{a+b+c}{b-a}$?
Решение:
Из условия следует, что $a > 0$ и $b^{2} – 4ac \leq 0$, т.е. $c\geq \frac{b^{2}}{4a}$. Обозначим $A= \frac{a+b+c}{b-a}$. Тогда, поскольку $t=b-a > 0$, в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем:
$A\geq \frac{a+b+\frac{b^{2}}{4a}}{b-a}= \frac{4a^{2}+4ab+b^{2}}{4a\left ( b-a \right )}=\frac{9a^{2}+6at+t^{2}}{4at}= \frac{3}{2} + \frac{9a^{2}+t^{2}}{4at} \geq \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{9a^ {2}\cdot t^{2}}}{2at} = \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$,
причем равенство $A = 3$ достигается, если $c= \frac{b^{2}}{4a}$ и $t=3a$, т.е. при $b=c=4a$.
Следовательно, данное выражение принимает свое наименьшее значение, равное 3, когда $f\left (x \right )= ax^{2}+4ax+4a=a\left ( x+2 \right )^{2}$, где $a$ - произвольное положительное число.
Замечание. Пусть $g\left (t \right )= \frac{(t+2)^{2}}{4\left ( t-1 \right )}$. Нетрудно проверить, что $g\left ( \frac{b}{a} \right )=\frac{4a^{2}+4ab+b^{2}}{4a\left ( b-a \right )}$. Следовательно, наименьшее значение $A$ можно найти, исследовав функцию $g\left ( t \right )$ на экстремум при $t > 1$.
Ответ. 3.
