Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1477
2019-01-03 
В остроугольном треугольнике $ABC$ на высоте $BK$ как на диаметре построена окружность $S$, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. К окружности $S$ в точках $E$ и $F$ проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины $B$.
Решение:
Достаточно доказать аналогичное утверждение для произвольной окружности, гомотетичной $S$ с центром гомотетии $B$. Рассмотрим окружность ${S}^{ \prime}$ с диаметром $BH$, где $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть она пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $L$ и $M$ рис. Тогда $CL$ и $AM$ — высоты треугольника $ABC$, поскольку $\angle BLH$ и $\angle BMH$ опираются на диаметр. Пусть $N$ — середина $AC$. Так как точка $N$ —середина гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ALC$, то $LN = CN$ и, значит, $\angle CLN = \angle LCN = 90^{\circ} - \angle A = \angle LBH$, поэтому $NL$ - касательная к окружности ${S}^{ \prime}$. Аналогично доказывается, что $MN $ также является касательной к окружности ${S}^{ \prime}$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ на высоте $BK$ как на диаметре построена окружность $S$, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. К окружности $S$ в точках $E$ и $F$ проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины $B$.
Решение:
Достаточно доказать аналогичное утверждение для произвольной окружности, гомотетичной $S$ с центром гомотетии $B$. Рассмотрим окружность ${S}^{ \prime}$ с диаметром $BH$, где $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть она пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $L$ и $M$ рис. Тогда $CL$ и $AM$ — высоты треугольника $ABC$, поскольку $\angle BLH$ и $\angle BMH$ опираются на диаметр. Пусть $N$ — середина $AC$. Так как точка $N$ —середина гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ALC$, то $LN = CN$ и, значит, $\angle CLN = \angle LCN = 90^{\circ} - \angle A = \angle LBH$, поэтому $NL$ - касательная к окружности ${S}^{ \prime}$. Аналогично доказывается, что $MN $ также является касательной к окружности ${S}^{ \prime}$.
