Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1472
2019-01-03 
Окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис.). Окружность, проходящая через точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $A$, вторично пересекает окружность $S_{1}$ в точке $D$, окружность $S_{2}$ — в точке $E$ и прямую $AB$ — в точке $C$. Докажите, что $CD=CB=CE$.
Решение:
Отрезки $AO_{1}$ и $O_{1}D$ равны как радиусы окружности $S_{1}$ (рис.). Поэтому равны стягиваемые хордами $AO_{1}$ и $O_{1}D$ дуги $AO_{1}$ и $O_{1}D$ окружности, проходящей через точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $A$. Значит, углы $ACO_{1}$ и $DCO_{1}$ равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, лучи $CA$ и $CD$, как и окружность $S_{1}$, симметричны относительно прямой $CO_{1}$. Поэтому точки $B$ и $D$ (ближайшие к $C$ точки пересечения лучей $CA$ и $CD$ с окружностью $S_{1}$) также симметричны относительно $CO_{1}$, т. е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.
Окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис.). Окружность, проходящая через точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $A$, вторично пересекает окружность $S_{1}$ в точке $D$, окружность $S_{2}$ — в точке $E$ и прямую $AB$ — в точке $C$. Докажите, что $CD=CB=CE$.
Решение:
Отрезки $AO_{1}$ и $O_{1}D$ равны как радиусы окружности $S_{1}$ (рис.). Поэтому равны стягиваемые хордами $AO_{1}$ и $O_{1}D$ дуги $AO_{1}$ и $O_{1}D$ окружности, проходящей через точки $O_{1}$, $O_{2}$ и $A$. Значит, углы $ACO_{1}$ и $DCO_{1}$ равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, лучи $CA$ и $CD$, как и окружность $S_{1}$, симметричны относительно прямой $CO_{1}$. Поэтому точки $B$ и $D$ (ближайшие к $C$ точки пересечения лучей $CA$ и $CD$ с окружностью $S_{1}$) также симметричны относительно $CO_{1}$, т. е. $CB = CD$. Аналогично, $CE = CB$.
