Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 147
2014-06-07 
Доказать, что для любых положительных чисел $a , b, c$ справедливо неравенство
$a^{2}(b + c - a) + b^{2}(a + c - b) + c^{2}(a + b – c) \leq 3abc$
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что $a \geq b \geq c > 0$. Преобразуем разность между пряной и левой частями неравенства к виду
$3abc + a^{2}(a-b-c) +b^{2}(b-a-c) + c^{2}(c-a-b) =$
$= 3abc + a^{3}+b^{3} +c^{3} – a^{2}b – b^{2}a – a^{2}c – b^{2}c – c^{2}a –c^{2}b =$
$= a^{2}(a-b) + b^{2}(b-a) + c(2ab – a^{2} – b^{2}) + c(c^{2} – bc +ab -ac) =$
$= (a-b) (a^{2}-c^{2}) – c(a-b)^{2} + c (c-a)(c-b)=$
$=(a-b)^{2}(a+b-c) + c(b-c)(a-c)$
Тетерь для доказательства требуемого неравенства остается заметить, что полученное выражение неотрицательно, так как
$a + b > c, b \geq c, a \geq cm c >0$.
Доказать, что для любых положительных чисел $a , b, c$ справедливо неравенство
$a^{2}(b + c - a) + b^{2}(a + c - b) + c^{2}(a + b – c) \leq 3abc$
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что $a \geq b \geq c > 0$. Преобразуем разность между пряной и левой частями неравенства к виду
$3abc + a^{2}(a-b-c) +b^{2}(b-a-c) + c^{2}(c-a-b) =$
$= 3abc + a^{3}+b^{3} +c^{3} – a^{2}b – b^{2}a – a^{2}c – b^{2}c – c^{2}a –c^{2}b =$
$= a^{2}(a-b) + b^{2}(b-a) + c(2ab – a^{2} – b^{2}) + c(c^{2} – bc +ab -ac) =$
$= (a-b) (a^{2}-c^{2}) – c(a-b)^{2} + c (c-a)(c-b)=$
$=(a-b)^{2}(a+b-c) + c(b-c)(a-c)$
Тетерь для доказательства требуемого неравенства остается заметить, что полученное выражение неотрицательно, так как
$a + b > c, b \geq c, a \geq cm c >0$.
