Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1469
2019-01-03 
Две окружности радиусом $R$ и $r$ касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ и пересекаются в точках $C$ и $D$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ не зависит от длины отрезка $AB$.
Решение:
Пусть $p$ — радиус окружности, описанной около $ABC$ (рис.). Тогда $BC = 2p \sin \angle CAB$. Угол $CBA$, как угол между хордой и касательной, равен углу, вписанному в окружность радиуса $r$ и опирающемуся на дугу $BDC$. Поэтому $BC = 2r \sin \angle CBA$. Аналогично, $AC = 2p \sin \angle CBA = 2R \sin \angle CAB$. Перемножая равенства $p \sin \angle CAB = r \sin \angle CBA$ и $p \sin \angle CBA = R \sin \angle CAB$, получаем $p^{2}=Rr$, т.е. $p$ не зависит от длины $AB$.
Две окружности радиусом $R$ и $r$ касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ и пересекаются в точках $C$ и $D$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ не зависит от длины отрезка $AB$.
Решение:
Пусть $p$ — радиус окружности, описанной около $ABC$ (рис.). Тогда $BC = 2p \sin \angle CAB$. Угол $CBA$, как угол между хордой и касательной, равен углу, вписанному в окружность радиуса $r$ и опирающемуся на дугу $BDC$. Поэтому $BC = 2r \sin \angle CBA$. Аналогично, $AC = 2p \sin \angle CBA = 2R \sin \angle CAB$. Перемножая равенства $p \sin \angle CAB = r \sin \angle CBA$ и $p \sin \angle CBA = R \sin \angle CAB$, получаем $p^{2}=Rr$, т.е. $p$ не зависит от длины $AB$.
