Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1464
2019-01-03 
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены $M$ фишек ($m > n$). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну - вправо, вторую - влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно $n$.
Решение:
Занумеруем вершины $n$-угольника по часовой стрелке. Пусть из $i$ вершины было сделано $a_{i}$ ходов. Из условия следует, что $a_{1}= \frac{a_{2}+a_{n}}{2}, a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}, \cdots , a_{n}= \frac{a_{n-1}+a_{1}}{2}$.
Пусть $a_{1}$ — наибольшее из чисел $a_{i}$. Тогда равенство $a_{1}= \frac{a_{2}+ a_{n}}{2}$ возможно лишь тогда, когда $a_{2}=a_{n}=a_{2}a_{1}$. Теперь из равенства $a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}$ следует, что $a_{1}=a_{2}=a_{3}$, т. д. Таким образом, $a_{1}=a_{2}= \cdots = a_{n}$, и число сделанных ходов равно $n \cdot a_{1}$.
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены $M$ фишек ($m > n$). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну - вправо, вторую - влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно $n$.
Решение:
Занумеруем вершины $n$-угольника по часовой стрелке. Пусть из $i$ вершины было сделано $a_{i}$ ходов. Из условия следует, что $a_{1}= \frac{a_{2}+a_{n}}{2}, a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}, \cdots , a_{n}= \frac{a_{n-1}+a_{1}}{2}$.
Пусть $a_{1}$ — наибольшее из чисел $a_{i}$. Тогда равенство $a_{1}= \frac{a_{2}+ a_{n}}{2}$ возможно лишь тогда, когда $a_{2}=a_{n}=a_{2}a_{1}$. Теперь из равенства $a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}$ следует, что $a_{1}=a_{2}=a_{3}$, т. д. Таким образом, $a_{1}=a_{2}= \cdots = a_{n}$, и число сделанных ходов равно $n \cdot a_{1}$.
