Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1463
2019-01-03 
Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Прямые $AO$ и $CO$ пересекают прямую $EF$ в точках $N$ и $M$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $OMN$, точка $O$ и точка $D$ лежат на одной прямой.
Решение:
Проведем отрезки $OD$, $OF$ и $FD$ рис. Углы $\angle AOD$ и $\angle EFD$ измеряются половиной дуги $ED$ поэтому они равны. Отсюда $\angle NOD + \angle NFD = 180^{\circ}$, и точки $O$, $N$, $F$, $D$ лежат на одной окружности. С другой стороны, поскольку $\angle ODC = \angle OFC = 90^{\circ}$, точки $O$, $F$, $D$ лежат на окружности с диаметром $OC$. Следовательно, и точка $N$ лежит на этой окружности, откуда $\angle ONC = 90^{\circ}$. Аналогично доказывается, что $\angle AMC = 90^{\circ}$. (Если точка $M$ лежит вне отрезка $EF$, то из равенства углов $\angle DOC$ и $\angle DEF$ следует, что $\angle MOD = \angle MED$ , т. е. и точки $M$, $E$, $O$, $D$ лежат на одной окружности).
Продолжим $AM$ и $CN$ до пересечения в точке $K$. Мы показали, что $AN$ и $CM$— высоты треугольника $AKC$, поэтому прямая $OK$ перпендикулярна $AC$, так как высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит, точка $D$ лежит на $OK$. Требуемое утверждение следует из того, что отрезок $OK$ является диаметром окружности, описанной вокруг четырехугольника $OMKN$.
Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Прямые $AO$ и $CO$ пересекают прямую $EF$ в точках $N$ и $M$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $OMN$, точка $O$ и точка $D$ лежат на одной прямой.
Решение:
Проведем отрезки $OD$, $OF$ и $FD$ рис. Углы $\angle AOD$ и $\angle EFD$ измеряются половиной дуги $ED$ поэтому они равны. Отсюда $\angle NOD + \angle NFD = 180^{\circ}$, и точки $O$, $N$, $F$, $D$ лежат на одной окружности. С другой стороны, поскольку $\angle ODC = \angle OFC = 90^{\circ}$, точки $O$, $F$, $D$ лежат на окружности с диаметром $OC$. Следовательно, и точка $N$ лежит на этой окружности, откуда $\angle ONC = 90^{\circ}$. Аналогично доказывается, что $\angle AMC = 90^{\circ}$. (Если точка $M$ лежит вне отрезка $EF$, то из равенства углов $\angle DOC$ и $\angle DEF$ следует, что $\angle MOD = \angle MED$ , т. е. и точки $M$, $E$, $O$, $D$ лежат на одной окружности).
Продолжим $AM$ и $CN$ до пересечения в точке $K$. Мы показали, что $AN$ и $CM$— высоты треугольника $AKC$, поэтому прямая $OK$ перпендикулярна $AC$, так как высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит, точка $D$ лежит на $OK$. Требуемое утверждение следует из того, что отрезок $OK$ является диаметром окружности, описанной вокруг четырехугольника $OMKN$.
