Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1461
2019-01-03 
Докажите, что при всех $x, 0 < x < \pi / 3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Решение:
Первое решение. Используя тождества $1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}, \sin 2x = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x$, приводим неравенство к виду $2cosx > tg \frac{x}{2}$. Полученное неравенство справедливо в силу того, что $2 \cos x > 2 \cos \frac{\pi}{3} = 1, tg \frac{x}{2} < tg \frac{\pi}{6} < 1$.
Второе решение. Заметим, что функции $\sin 2x$ и $\cos x$ выпуклы вверх на отрезке $\left [ 0,\frac{\pi}{3} \right ]$. Значит, их сумма $ f\left ( x \right ) = sin 2x + cosx$ также выпукла, поэтому график функции f\left ( x \right ) на этом отрезке лежит не ниже прямой, соединяющей точки $\left ( 0; f\left ( 0 \right ) \right ) и \left ( \frac{\pi}{3} ; f\left ( \frac{\pi}{3} \right ) \right )$. Требуемое неравенство теперь следует из соотношений $f \left ( 0 \right ) = 1$ и $f \left ( \frac{ \pi}{3} \right ) = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}}{2} > 1$.
Докажите, что при всех $x, 0 < x < \pi / 3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Решение:
Первое решение. Используя тождества $1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}, \sin 2x = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x$, приводим неравенство к виду $2cosx > tg \frac{x}{2}$. Полученное неравенство справедливо в силу того, что $2 \cos x > 2 \cos \frac{\pi}{3} = 1, tg \frac{x}{2} < tg \frac{\pi}{6} < 1$.
Второе решение. Заметим, что функции $\sin 2x$ и $\cos x$ выпуклы вверх на отрезке $\left [ 0,\frac{\pi}{3} \right ]$. Значит, их сумма $ f\left ( x \right ) = sin 2x + cosx$ также выпукла, поэтому график функции f\left ( x \right ) на этом отрезке лежит не ниже прямой, соединяющей точки $\left ( 0; f\left ( 0 \right ) \right ) и \left ( \frac{\pi}{3} ; f\left ( \frac{\pi}{3} \right ) \right )$. Требуемое неравенство теперь следует из соотношений $f \left ( 0 \right ) = 1$ и $f \left ( \frac{ \pi}{3} \right ) = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}}{2} > 1$.
