Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1460
2018-12-13 
Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $a \sin^{2} x + b \cos^{2} x$, где $a$ и $b$ - действительные числа.
Решение:
Первый способ. $g(x) = a \sin^{2} x + b \cos^{2} x = a + (b - a) \cos^{2} x$. Так как $0 \leq \cos^{2} x \leq 1$, то при $b \geq a$ выполняется неравенство $a \leq g(x) \leq b$; при $b < a$ выполняется неравенство $b \leq g(x) \leq a$.
Второй способ. $g(x) = a \sin^{2} x + b \cos^{2} x = 0,5a(1 - \cos 2x) + 0,5b(1 + \cos 2x) = 0,5(a + b + (b - a) \cos 2x)$. Так как $- 1 \leq \cos 2x \leq 1$, то при $b \geq a$ выполняется неравенство $a \leq g(x) \leq b$; при $b < a$ выполняется неравенство $b \leq g(x) \leq a$.
Ответ: если $b \geq a$, то $b$ - наибольшее значение, $a$ - наименьшее значение; если $b < a$, то $a$ - наибольшее значение, $b$ - наименьшее значение.
Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $a \sin^{2} x + b \cos^{2} x$, где $a$ и $b$ - действительные числа.
Решение:
Первый способ. $g(x) = a \sin^{2} x + b \cos^{2} x = a + (b - a) \cos^{2} x$. Так как $0 \leq \cos^{2} x \leq 1$, то при $b \geq a$ выполняется неравенство $a \leq g(x) \leq b$; при $b < a$ выполняется неравенство $b \leq g(x) \leq a$.
Второй способ. $g(x) = a \sin^{2} x + b \cos^{2} x = 0,5a(1 - \cos 2x) + 0,5b(1 + \cos 2x) = 0,5(a + b + (b - a) \cos 2x)$. Так как $- 1 \leq \cos 2x \leq 1$, то при $b \geq a$ выполняется неравенство $a \leq g(x) \leq b$; при $b < a$ выполняется неравенство $b \leq g(x) \leq a$.
Ответ: если $b \geq a$, то $b$ - наибольшее значение, $a$ - наименьшее значение; если $b < a$, то $a$ - наибольшее значение, $b$ - наименьшее значение.
