Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 146
2014-06-07 
Доказать, что для любых чисел $a, b, c$, больших 1, справедливо неравенство
$2 \left ( \frac{log_{b}a}{a+b} + \frac{log_{c}b}{b+c} + \frac{log_{a}c}{c+a} \right ) \geq \frac{9}{a+b+c}$
Решение:
Применяя теорему о средних и учитывая, что числа $log_{b}a, log_{c}b, log_{a}c$ положительны, а их произведение равно единице, получим
$\frac{log_{b}a}{a+b} + \frac{log_{c}b}{b+c} + \frac{log_{a}c}{a+c} \geq \sqrt[]{ \frac{log_{b}a log_{c}b log_{a}c}{(a+b)(b+c)(a+c)}} =$
$= \frac{9}{ \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}} \geq \frac{9}{(a+b) + (b+c) + (a+c)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{a + b +c}$,
откуда вытекает требуемое неравенство.
Доказать, что для любых чисел $a, b, c$, больших 1, справедливо неравенство
$2 \left ( \frac{log_{b}a}{a+b} + \frac{log_{c}b}{b+c} + \frac{log_{a}c}{c+a} \right ) \geq \frac{9}{a+b+c}$
Решение:
Применяя теорему о средних и учитывая, что числа $log_{b}a, log_{c}b, log_{a}c$ положительны, а их произведение равно единице, получим
$\frac{log_{b}a}{a+b} + \frac{log_{c}b}{b+c} + \frac{log_{a}c}{a+c} \geq \sqrt[]{ \frac{log_{b}a log_{c}b log_{a}c}{(a+b)(b+c)(a+c)}} =$
$= \frac{9}{ \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}} \geq \frac{9}{(a+b) + (b+c) + (a+c)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{a + b +c}$,
откуда вытекает требуемое неравенство.
