Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1459
2018-12-13 
Решите уравнение: ($x^{2} + [x] + 1)^{2} + [x^{2} + [x] + 1] = x - 1$.
Решение:
Первый способ. Перенесем слагаемое -1 в левую часть уравнения и рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} + [x] + 1$. Тогда, данное уравнение можно записать в виде:$f(f(x)) = x$. Так как $\forall x \in R$ выполняется неравенство $[x] \leq x < [x] + 1$, то $f(x) > x$. Следовательно, $f(f(x)) > f(x) > x$, то есть, данное уравнение корней не имеет.
Заключительный вывод может быть получен и из других соображений. Справедливость равенства $f(f(x)) = x$ означает, что функцией, обратной к $f(x)$ является она сама. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$, причем, из неравенства $f(x) > x$ следует, что график функции $f(x)$ должен располагаться выше этой прямой, значит, график обратной ей функции - ниже. Следовательно, совпасть эти два графика не могут.
Второй способ. Пусть $x^{2} + [x] + 1 = y$, тогда, $y^{2} + [y] = x - 1$. Получим систему уравнений:
$\begin{cases} y^{2} + [y] + 1 = x, \\ x^{2} + [x] + 1 = y. \end{cases}$
Ее следствием является уравнение $(y^{2} - x^{2}) + ([y] - [x]) = x - y$. Пусть $x \geq y$, тогда, $x^{2} \geq y^{2}$ и $[x] \geq [y]$, то есть, правая часть этого уравнения принимает неотрицательные значения, а левая часть - неположительные. Аналогичная ситуация возникает и в случае, когда $y \geq x$. Таким образом, равенство возможно только, если $x = y$. Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению $x^{2} + [x] + 1 = x$, которое не имеет решений, так как $\forall x \in R$ верно неравенство $x < [x] + 1$.
Ответ: корней нет.
Решите уравнение: ($x^{2} + [x] + 1)^{2} + [x^{2} + [x] + 1] = x - 1$.
Решение:
Первый способ. Перенесем слагаемое -1 в левую часть уравнения и рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} + [x] + 1$. Тогда, данное уравнение можно записать в виде:$f(f(x)) = x$. Так как $\forall x \in R$ выполняется неравенство $[x] \leq x < [x] + 1$, то $f(x) > x$. Следовательно, $f(f(x)) > f(x) > x$, то есть, данное уравнение корней не имеет.
Заключительный вывод может быть получен и из других соображений. Справедливость равенства $f(f(x)) = x$ означает, что функцией, обратной к $f(x)$ является она сама. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$, причем, из неравенства $f(x) > x$ следует, что график функции $f(x)$ должен располагаться выше этой прямой, значит, график обратной ей функции - ниже. Следовательно, совпасть эти два графика не могут.
Второй способ. Пусть $x^{2} + [x] + 1 = y$, тогда, $y^{2} + [y] = x - 1$. Получим систему уравнений:
$\begin{cases} y^{2} + [y] + 1 = x, \\ x^{2} + [x] + 1 = y. \end{cases}$
Ее следствием является уравнение $(y^{2} - x^{2}) + ([y] - [x]) = x - y$. Пусть $x \geq y$, тогда, $x^{2} \geq y^{2}$ и $[x] \geq [y]$, то есть, правая часть этого уравнения принимает неотрицательные значения, а левая часть - неположительные. Аналогичная ситуация возникает и в случае, когда $y \geq x$. Таким образом, равенство возможно только, если $x = y$. Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению $x^{2} + [x] + 1 = x$, которое не имеет решений, так как $\forall x \in R$ верно неравенство $x < [x] + 1$.
Ответ: корней нет.
