Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1457
2018-12-13 
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ABMP$ и $BCDK$. Докажите, что продолжение медианы $BE$ треугольника $ABC$ является высотой треугольника $BMK$.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим поворот вокруг точки В на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки. Образом точки М будет являться точка А, а образом точки К - точка L, лежащая на прямой СВ, причем LB = ВС (см. рис.). Так как BE - средняя линия треугольника ALC, то $BE \parallel AL. AL$ - образ прямой КМ при данном повороте, значит, $AL \perp KM$, следовательно, и $BE \perp KM$, то есть, продолжение BE будет являться высотой треугольника ВМК, что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим векторы: $\overline{BA} = \overline{a}, \overline{BC} = \overline{b}, \overline{BM} = \overline{x}, \overline{BK} = \overline{y}$. Тогда, $\overline{BE} = \frac{1}{2}( \overline{a} + \overline{b})$. Так как $\overline{x} \perp \overline{a}, \overline{y} \perp \overline{b}$, то $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{b} \cdot \overline{y} = 0$. Кроме того, эти четыре вектора имеют одинаковые модули и $\angle ( \overline{a}, \overline{y}) = 90^{ \circ} + \angle ABC = \angle ( \overline{b} , \overline{x} )$, следовательно, $\overline{a} \cdot \overline{y} = \overline{b} \cdot \overline{x}$. Используя полученные факты, имеем:
$\overline{BE} \cdot \overline{MK} = \frac{1}{2}( \overline{a} + \overline{b})( \overline{y} - \overline{x}) = \frac{1}{2}( \overline{a} \cdot \overline{y} + \overline{b} \cdot \overline{y} - \overline{a} \cdot \overline{x} - \overline{b} \cdot \overline{x} ) = 0$,
то есть, $\overline{BE} \perp \overline{MK}$, а это и означает, что прямая BE содержит высоту треугольника ВМК, что и требовалось доказать.
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ABMP$ и $BCDK$. Докажите, что продолжение медианы $BE$ треугольника $ABC$ является высотой треугольника $BMK$.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим поворот вокруг точки В на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки. Образом точки М будет являться точка А, а образом точки К - точка L, лежащая на прямой СВ, причем LB = ВС (см. рис.). Так как BE - средняя линия треугольника ALC, то $BE \parallel AL. AL$ - образ прямой КМ при данном повороте, значит, $AL \perp KM$, следовательно, и $BE \perp KM$, то есть, продолжение BE будет являться высотой треугольника ВМК, что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим векторы: $\overline{BA} = \overline{a}, \overline{BC} = \overline{b}, \overline{BM} = \overline{x}, \overline{BK} = \overline{y}$. Тогда, $\overline{BE} = \frac{1}{2}( \overline{a} + \overline{b})$. Так как $\overline{x} \perp \overline{a}, \overline{y} \perp \overline{b}$, то $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{b} \cdot \overline{y} = 0$. Кроме того, эти четыре вектора имеют одинаковые модули и $\angle ( \overline{a}, \overline{y}) = 90^{ \circ} + \angle ABC = \angle ( \overline{b} , \overline{x} )$, следовательно, $\overline{a} \cdot \overline{y} = \overline{b} \cdot \overline{x}$. Используя полученные факты, имеем:
$\overline{BE} \cdot \overline{MK} = \frac{1}{2}( \overline{a} + \overline{b})( \overline{y} - \overline{x}) = \frac{1}{2}( \overline{a} \cdot \overline{y} + \overline{b} \cdot \overline{y} - \overline{a} \cdot \overline{x} - \overline{b} \cdot \overline{x} ) = 0$,
то есть, $\overline{BE} \perp \overline{MK}$, а это и означает, что прямая BE содержит высоту треугольника ВМК, что и требовалось доказать.
