Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1456
2018-12-13 
Решите уравнение: $1 + x^{2} + x^{4} + \cdots + x^{3998} + x^{4000} = 2001x^{2000}$.
Решение:
Первый способ. Перенесем выражение $2001x^{2000}$ в левую часть уравнения, и, сложим его с $x^{2000}$. Разобьем получившееся выражение $-2000x^{2000}$ на 1000 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $-2x^{2000}$, и сгруппируем:
$(1 - 2x^{2000} + x^{4000}) + (x^{2} - 2x^{2000} + x^{3998}) + \cdots + (x^{1998} - 2x^{2000} + x^{2002}) = 0$.
Применив формулу квадрата разности, получаем:
$(1 - x^{2000})^{2} + (x - x^{1999})^{2} + \cdots + (x^{999} - x^{1001})^{2} = 0$.
Следовательно, каждое из слагаемых в левой части уравнения равно нулю, то есть, одновременно выполняются равенства: $x^{2000} = 1; x^{1999} = x; \cdots ; x^{1001} = x^{999}$. Получаем ответ: $x = \pm 1$.
Второй способ. Проверив, что $x = 0$ не является корнем данного уравнения, разделим обе его части на $x^{2000}$. Получим:
$\frac{1}{x^{2000} } + \frac{1}{x^{1998} } + \cdots + 1 + \cdots + x^{1998} + x^{2000} = 2001$.
Левая часть этого уравнения является суммой единицы и тысячи слагаемых вида $x^{2n} + \frac{1}{x^{2n} }$, где $n = 1,2, \cdots , 1000$. Воспользуемся тем, что сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше двух, и получим, что левая часть уравнения принимает значения, большие или равные 2001, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда $x^{2n} = 1$ при всех указанных значениях $n$, то есть, $x = \pm 1$.
Ответ: $\pm 1$.
Решите уравнение: $1 + x^{2} + x^{4} + \cdots + x^{3998} + x^{4000} = 2001x^{2000}$.
Решение:
Первый способ. Перенесем выражение $2001x^{2000}$ в левую часть уравнения, и, сложим его с $x^{2000}$. Разобьем получившееся выражение $-2000x^{2000}$ на 1000 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $-2x^{2000}$, и сгруппируем:
$(1 - 2x^{2000} + x^{4000}) + (x^{2} - 2x^{2000} + x^{3998}) + \cdots + (x^{1998} - 2x^{2000} + x^{2002}) = 0$.
Применив формулу квадрата разности, получаем:
$(1 - x^{2000})^{2} + (x - x^{1999})^{2} + \cdots + (x^{999} - x^{1001})^{2} = 0$.
Следовательно, каждое из слагаемых в левой части уравнения равно нулю, то есть, одновременно выполняются равенства: $x^{2000} = 1; x^{1999} = x; \cdots ; x^{1001} = x^{999}$. Получаем ответ: $x = \pm 1$.
Второй способ. Проверив, что $x = 0$ не является корнем данного уравнения, разделим обе его части на $x^{2000}$. Получим:
$\frac{1}{x^{2000} } + \frac{1}{x^{1998} } + \cdots + 1 + \cdots + x^{1998} + x^{2000} = 2001$.
Левая часть этого уравнения является суммой единицы и тысячи слагаемых вида $x^{2n} + \frac{1}{x^{2n} }$, где $n = 1,2, \cdots , 1000$. Воспользуемся тем, что сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше двух, и получим, что левая часть уравнения принимает значения, большие или равные 2001, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда $x^{2n} = 1$ при всех указанных значениях $n$, то есть, $x = \pm 1$.
Ответ: $\pm 1$.
