Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1454
2018-12-13 
Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $N$, так что $BK = KC$ и $CN : ND = 2:1$. Отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $T$. Площадь четырехугольника $KCNT$ равна 13. Найдите площадь треугольника $BTA$.
Решение:
Проведем отрезок $KM \parallel CN$ (см. рис.). М - середина BN, то есть, КМ - средняя линия треугольника BCN. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} CN = \frac{1}{3} AB$. Треугольники КТМ и АТВ подобны, $\frac{KT}{AT} = \frac{KM}{AB} = \frac{1}{3}$.
Пусть $S_{BTA} = S$, тогда $S_{BTK} = \frac{1}{3} S$, a $S_{BCN} = \frac{4}{3} S_{ABK} = \frac{16}{9} S$. Так как $S_{BCN} = S_{BTK} + S_{KCNT}$, то составляем уравнение: $\frac{16}{9} S = \frac{1}{3}S + 13$. Решая это уравнение, получим, что $S = 9$.
Ответ: 9.
Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $N$, так что $BK = KC$ и $CN : ND = 2:1$. Отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $T$. Площадь четырехугольника $KCNT$ равна 13. Найдите площадь треугольника $BTA$.
Решение:
Проведем отрезок $KM \parallel CN$ (см. рис.). М - середина BN, то есть, КМ - средняя линия треугольника BCN. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} CN = \frac{1}{3} AB$. Треугольники КТМ и АТВ подобны, $\frac{KT}{AT} = \frac{KM}{AB} = \frac{1}{3}$.
Пусть $S_{BTA} = S$, тогда $S_{BTK} = \frac{1}{3} S$, a $S_{BCN} = \frac{4}{3} S_{ABK} = \frac{16}{9} S$. Так как $S_{BCN} = S_{BTK} + S_{KCNT}$, то составляем уравнение: $\frac{16}{9} S = \frac{1}{3}S + 13$. Решая это уравнение, получим, что $S = 9$.
Ответ: 9.
