Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1451
2018-12-13 
В тетраэдре $PABC$ проведены биссектрисы $PA_{1}, PB_{1}$ и $PC_{1}$ треугольников $PBC, PAC$ и $PAB$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Первый способ (см. рис. а). Применив для каждого из треугольников РВС, РАС и РАВ свойство биссектрисы угла треугольника, получим: $\frac{AC_{1}}{BC_{1}} = \frac{PA}{PB}; \frac{BA_{1} }{CA_{1}} = \frac{PB}{PC}; \frac{CB_{1} }{AB_{1} } = \frac{PC}{PA}$. Следовательно, $\frac{BA_{1} }{CA_{1} } \frac{CB_{1} }{AB_{1} } \frac{AC_{1} }{BC_{1} } = \frac{PB}{PC} \frac{PC}{PA} \frac{PA}{PB} = 1$, то есть по теореме Чевы прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведем плоскость, пересекающую лучи РА, РВ и PC в точках $A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ соответственно, так что $PA_{2} = PB_{2} = PC_{2}$ (см. рис. б). Получим тетраэдр $PA_{2}B_{2}C_{2}$: лучи $PA_{1}, PB_{1}$ и $PC_{1}$ пересекают ребра его основания в серединах - точках $A_{3}, B_{3}$ и $C_{3}$ соответственно. Тогда прямые $A_{2}A_{3}, B_{2}B_{3}$ и $C_{2}C_{3}$ содержат медианы треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$, следовательно, пересекаются в некоторой точке М. Прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ являются образами прямых $A_{2}A_{3}, B_{2}B_{3}$ и $C_{2}C_{3}$ при центральном проектировании с центром Р плоскости $A_{2}B_{2}C_{2}$ на плоскость АВС. Поскольку такое отображение является взаимно-однозначным, то образом точки М является точка пересечения прямых $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ (если $f$ - взаимно-однозначное соответствие, то образ пересечения равен пересечению образов). Следовательно, $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
В тетраэдре $PABC$ проведены биссектрисы $PA_{1}, PB_{1}$ и $PC_{1}$ треугольников $PBC, PAC$ и $PAB$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Первый способ (см. рис. а). Применив для каждого из треугольников РВС, РАС и РАВ свойство биссектрисы угла треугольника, получим: $\frac{AC_{1}}{BC_{1}} = \frac{PA}{PB}; \frac{BA_{1} }{CA_{1}} = \frac{PB}{PC}; \frac{CB_{1} }{AB_{1} } = \frac{PC}{PA}$. Следовательно, $\frac{BA_{1} }{CA_{1} } \frac{CB_{1} }{AB_{1} } \frac{AC_{1} }{BC_{1} } = \frac{PB}{PC} \frac{PC}{PA} \frac{PA}{PB} = 1$, то есть по теореме Чевы прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведем плоскость, пересекающую лучи РА, РВ и PC в точках $A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ соответственно, так что $PA_{2} = PB_{2} = PC_{2}$ (см. рис. б). Получим тетраэдр $PA_{2}B_{2}C_{2}$: лучи $PA_{1}, PB_{1}$ и $PC_{1}$ пересекают ребра его основания в серединах - точках $A_{3}, B_{3}$ и $C_{3}$ соответственно. Тогда прямые $A_{2}A_{3}, B_{2}B_{3}$ и $C_{2}C_{3}$ содержат медианы треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$, следовательно, пересекаются в некоторой точке М. Прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ являются образами прямых $A_{2}A_{3}, B_{2}B_{3}$ и $C_{2}C_{3}$ при центральном проектировании с центром Р плоскости $A_{2}B_{2}C_{2}$ на плоскость АВС. Поскольку такое отображение является взаимно-однозначным, то образом точки М является точка пересечения прямых $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ (если $f$ - взаимно-однозначное соответствие, то образ пересечения равен пересечению образов). Следовательно, $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
