Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 145
2014-06-07 
Доказать, что для среднего арифметического $A = (a+b)/2$ и среднего геометрического
$B = \sqrt{ab}$ любых положительных чисел $a \neq b$ справедливы оценки
$B < \frac{(a-b)^{2}}{8(A - B)} < A$
Решение:
Требуемые оценки вытекают из неравенств $B < (A + B)/2 < A$ (поскольку $B < A$) и соотношений
$\frac{(a-b)^{2}}{8(A-B)} = \frac {(\sqrt{a}^{2} - \sqrt{b}^{2})^{2}}{4 (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}} = \frac{(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{2}}{4} = \frac{A+B}{2}$.
Доказать, что для среднего арифметического $A = (a+b)/2$ и среднего геометрического
$B = \sqrt{ab}$ любых положительных чисел $a \neq b$ справедливы оценки
$B < \frac{(a-b)^{2}}{8(A - B)} < A$
Решение:
Требуемые оценки вытекают из неравенств $B < (A + B)/2 < A$ (поскольку $B < A$) и соотношений
$\frac{(a-b)^{2}}{8(A-B)} = \frac {(\sqrt{a}^{2} - \sqrt{b}^{2})^{2}}{4 (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}} = \frac{(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{2}}{4} = \frac{A+B}{2}$.
