Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1449
2018-12-13 
Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Шесть его сторон имеют длину $\sqrt{2}$, а каждая из оставшихся - $\sqrt{24}$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Независимо от способов чередования сторон данного многоугольника найдутся две стороны разной длины, имеющие общую вершину, например, АВ и ВС (см. рис.). Тогда точки А, В и С однозначно определяют окружность. Следовательно, искомый радиус окружности не зависит от порядка расположения остальных сторон многоугольника. Тогда, соединив центр окружности с каждой вершиной двенадцатиугольника, имеем два типа равнобедренных треугольников: с основаниями $\sqrt{2}$ и $\sqrt{24}$ соответственно. Сумма углов, противолежащих основаниям, у двух треугольников разных типов равна $360^{ \circ} : 6 = 60^{ \circ}$, поэтому, применяя свойство вписанного угла, получим: $\angle ABC = 180^{ \circ} - \frac{1}{2} \angle AOC = 150^{ \circ}$. В треугольнике АВС сторона АС равна $\sqrt{38}$ (по теореме косинусов). Треугольник АОС - равносторонний, поэтому радиус окружности равен $\sqrt{38}$.
Ответ: $\sqrt{38}$.
Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Шесть его сторон имеют длину $\sqrt{2}$, а каждая из оставшихся - $\sqrt{24}$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Независимо от способов чередования сторон данного многоугольника найдутся две стороны разной длины, имеющие общую вершину, например, АВ и ВС (см. рис.). Тогда точки А, В и С однозначно определяют окружность. Следовательно, искомый радиус окружности не зависит от порядка расположения остальных сторон многоугольника. Тогда, соединив центр окружности с каждой вершиной двенадцатиугольника, имеем два типа равнобедренных треугольников: с основаниями $\sqrt{2}$ и $\sqrt{24}$ соответственно. Сумма углов, противолежащих основаниям, у двух треугольников разных типов равна $360^{ \circ} : 6 = 60^{ \circ}$, поэтому, применяя свойство вписанного угла, получим: $\angle ABC = 180^{ \circ} - \frac{1}{2} \angle AOC = 150^{ \circ}$. В треугольнике АВС сторона АС равна $\sqrt{38}$ (по теореме косинусов). Треугольник АОС - равносторонний, поэтому радиус окружности равен $\sqrt{38}$.
Ответ: $\sqrt{38}$.
