Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1446
2018-12-13 
Точки $A, B$ и $C$ являются вершинами неравнобедренного треугольника. Сколько существует точек $D$ таких, что четырехугольник с вершинами $A, B, C$ и $D$ имеет хотя бы одну ось симметрии?
Решение:
Если четырехугольник имеет ось симметрии, то образом любой его вершины при симметрии относительно этой оси является вершина этого же четырехугольника. Следовательно, ось симметрии должна либо являться серединным перпендикуляром к стороне данного треугольника, либо содержать его сторону (см. рис. а, б). Поэтому, если данный треугольник не является прямоугольным, то имеем шесть различных вариантов расположения точки D.
Если данный треугольник - прямоугольный, то возможно только три различных варианта расположения точки D, так как при симметриях относительно прямых, содержащих катеты, не образуется четырехугольников, а образы вершин Л и Б при симметриях относительно серединных перпендикуляров к катетам совпадают (см. рис. в-д).
Ответ: если треугольник АВС не является прямоугольным, то таких точек шесть; если АВС - прямоугольный, то таких точек три.
Точки $A, B$ и $C$ являются вершинами неравнобедренного треугольника. Сколько существует точек $D$ таких, что четырехугольник с вершинами $A, B, C$ и $D$ имеет хотя бы одну ось симметрии?
Решение:
Если четырехугольник имеет ось симметрии, то образом любой его вершины при симметрии относительно этой оси является вершина этого же четырехугольника. Следовательно, ось симметрии должна либо являться серединным перпендикуляром к стороне данного треугольника, либо содержать его сторону (см. рис. а, б). Поэтому, если данный треугольник не является прямоугольным, то имеем шесть различных вариантов расположения точки D.
Если данный треугольник - прямоугольный, то возможно только три различных варианта расположения точки D, так как при симметриях относительно прямых, содержащих катеты, не образуется четырехугольников, а образы вершин Л и Б при симметриях относительно серединных перпендикуляров к катетам совпадают (см. рис. в-д).
Ответ: если треугольник АВС не является прямоугольным, то таких точек шесть; если АВС - прямоугольный, то таких точек три.
