ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-12-13   
При какой комбинации знаков верно равенство:

$2 \sin \frac{ \alpha}{2} = \pm \sqrt{1 + \sin \alpha} \pm \sqrt{1 - \sin \alpha}$,

если $\alpha = \frac{19}{11} \pi$:


Решение:


Так как $\frac{3 \pi}{2} < \frac{19}{11} \pi < 2 \pi$, то при $\alpha = \frac{19}{11} \pi$ выполняются неравенства: $\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0, \sin \frac{ \alpha}{2} > 0$. Следовательно, $1 + \sin \alpha < 1 - \sin \alpha$, значит, $\sqrt{1 + \sin \alpha} < \sqrt{1 - \sin \alpha}$. Возведем в квадрат обе части данного равенства. Получим следствие из него:

$4 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} = 1 + \sin \alpha \pm 2 \sqrt{1 + \sin \alpha} \sqrt{1 - \sin \alpha} + 1 - \sin \alpha \Leftrightarrow 2 (1 - \cos \alpha) = 2 \pm 2 \cos \alpha$,

значит, в исходном равенстве должны быть разные знаки перед радикалами в правой части. Учитывая, что $\sin \frac{ \alpha}{2} > 0$ и $\sqrt{1 + \sin \alpha} < \sqrt{1 - \sin \alpha}$, получаем окончательный ответ: $2 \sin \frac{ \alpha}{2} = - \sqrt{1 + \sin \alpha} + \sqrt{1 ~ \sin \alpha}$.
Ответ: $2 \sin \frac{ \alpha}{2} = - \sqrt{1 + \sin \alpha} + \sqrt{1 - sin \alpha}$.