Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1442
2018-12-13 
В четырехугольнике $ABCD: \angle ABD = \angle BDC = 50^{ \circ}, \angle BCA = \angle CAD = 40^{ \circ}$. Найдите величины углов четырехугольника.
Решение:
Из условия следует, что ABCD - параллелограмм. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BD. Образом точки А является точка $A_{1}$. Тогда $\angle A_{1}BD = \angle ABD = 50^{ \circ}$, а $BA_{1} = BA$. Возможны два случая:
1) Точка $A_{1}$ совпала с точкой С (см. рис. а). Тогда ABCD - ромб с углами $100^{ \circ}$ и $80^{ \circ}$.
2) Точка $A_{1}$ не совпала с точкой С (см. рис. б). В этом случае рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Поскольку $\angle BA_{1}A = \angle BAA_{1} = 90^{ \circ} - \angle ABD = 40^{ \circ} = \angle BCA$, то точка $A_{1}$ лежит на этой окружности. Так как $BA_{1}CD$ - равнобокая трапеция, то этой окружности принадлежит и точка D. Следовательно, $\angle BDA = \angle BCA = 40^{ \circ}$, то есть, ABCD - прямоугольник, и каждый его угол равен $90^{ \circ}$.
Ответ: четыре угла по $90^{ \circ}$ или два угла по $80^{ \circ}$ и два угла по $100^{ \circ}$.
В четырехугольнике $ABCD: \angle ABD = \angle BDC = 50^{ \circ}, \angle BCA = \angle CAD = 40^{ \circ}$. Найдите величины углов четырехугольника.
Решение:
Из условия следует, что ABCD - параллелограмм. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BD. Образом точки А является точка $A_{1}$. Тогда $\angle A_{1}BD = \angle ABD = 50^{ \circ}$, а $BA_{1} = BA$. Возможны два случая:
1) Точка $A_{1}$ совпала с точкой С (см. рис. а). Тогда ABCD - ромб с углами $100^{ \circ}$ и $80^{ \circ}$.
2) Точка $A_{1}$ не совпала с точкой С (см. рис. б). В этом случае рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Поскольку $\angle BA_{1}A = \angle BAA_{1} = 90^{ \circ} - \angle ABD = 40^{ \circ} = \angle BCA$, то точка $A_{1}$ лежит на этой окружности. Так как $BA_{1}CD$ - равнобокая трапеция, то этой окружности принадлежит и точка D. Следовательно, $\angle BDA = \angle BCA = 40^{ \circ}$, то есть, ABCD - прямоугольник, и каждый его угол равен $90^{ \circ}$.
Ответ: четыре угла по $90^{ \circ}$ или два угла по $80^{ \circ}$ и два угла по $100^{ \circ}$.
