Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 144
2014-06-07 
Доказать, что если произведение трех чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Решение:
Пусть числа $a, b, c$ удовлетворяют условиям задачи:
$abc=1$ и $a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.
Тогда
$(a - 1)(b - 1)(c -1) = abc –ab – ac – bc + a + b +c -1 =$
$= (abc - 1) + (a +b + c) – abc \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right ) = $
$= (a + b + c) - \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right ) > 0$.
Итак, произведение трех сомножителей $(a - 1)(b - 1)(c -1)$ положительно, а значит, либо ровно один из этих сомножителей положителен, либо положительны все три числа $a - 1, b - 1, c – 1$. Но последний случай невозможен, так как если $a > 1, b > 1, c > 1$, то $abc > 1$, что противоречит условию $abc = 1$.
Доказать, что если произведение трех чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Решение:
Пусть числа $a, b, c$ удовлетворяют условиям задачи:
$abc=1$ и $a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.
Тогда
$(a - 1)(b - 1)(c -1) = abc –ab – ac – bc + a + b +c -1 =$
$= (abc - 1) + (a +b + c) – abc \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right ) = $
$= (a + b + c) - \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right ) > 0$.
Итак, произведение трех сомножителей $(a - 1)(b - 1)(c -1)$ положительно, а значит, либо ровно один из этих сомножителей положителен, либо положительны все три числа $a - 1, b - 1, c – 1$. Но последний случай невозможен, так как если $a > 1, b > 1, c > 1$, то $abc > 1$, что противоречит условию $abc = 1$.
