Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1439
2018-12-13 
Решите уравнение: $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} = \cos^{2} 3x$.
Решение:
Используя неравенство для взаимно обратных величин, получим:
$\frac{|x|}{2} + \frac{1}{2|x|} = \frac{1}{2} \left ( |x| + \frac{1}{|x|} \right ) \geq \frac{1}{2} 2 = 1$,
причем равенство достигается только при $|x| = 1$.
Пусть $x > 0$, тогда $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} > 1$ (неравенство строгое, поскольку $\sin^{2} 1 > 0$). Поскольку $\cos^{2} 3x \leq 1$, то уравнение не имеет положительных корней.
Пусть $x < 0$, тогда $\frac{x}{2} + \frac{1}{2x} \leq - 1$. Используя неравенство $\sin^{2} x \leq 1$, верное при любых значениях $x$, получим: $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} < 0$ (неравенство строгое, поскольку $sin^{2} (-1) < 1$). Поскольку $\cos^{2} 3x \geq 0$ при любых значениях $x$, то и в этом случае уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Решите уравнение: $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} = \cos^{2} 3x$.
Решение:
Используя неравенство для взаимно обратных величин, получим:
$\frac{|x|}{2} + \frac{1}{2|x|} = \frac{1}{2} \left ( |x| + \frac{1}{|x|} \right ) \geq \frac{1}{2} 2 = 1$,
причем равенство достигается только при $|x| = 1$.
Пусть $x > 0$, тогда $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} > 1$ (неравенство строгое, поскольку $\sin^{2} 1 > 0$). Поскольку $\cos^{2} 3x \leq 1$, то уравнение не имеет положительных корней.
Пусть $x < 0$, тогда $\frac{x}{2} + \frac{1}{2x} \leq - 1$. Используя неравенство $\sin^{2} x \leq 1$, верное при любых значениях $x$, получим: $\sin^{2} x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} < 0$ (неравенство строгое, поскольку $sin^{2} (-1) < 1$). Поскольку $\cos^{2} 3x \geq 0$ при любых значениях $x$, то и в этом случае уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
