Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1436
2018-12-13 
На окружности с центром О отмечены точки А и В. Две другие окружности лежат внутри данной, касаются ее в точках А и В и касаются друг друга в точке М. Найдите геометрическое место точек М.
Решение:
Лемма. Пусть две окружности касаются в некоторой точке О. Тогда геометрическое место точек Р таких, что отрезки касательных, проведенных из этих точек к обеим окружностям, равны, есть общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку О.
Доказательство. 1) Если точка Р лежит на общей касательной, то она обладает требуемым свойством, поскольку отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
2) Пусть точка Р обладает данным свойством. Докажем, что она лежит на общей касательной. Для этого, например, введем систему координат так, чтобы центры окружностей лежали на оси х, а общая касательная окружностей совпала с осью у (см. рис. б). Тогда $PT_{1}^{2} = PT_{2}^{2} \Leftrightarrow PO_{1}^{2} - r^{2} = PO_{2}^{2} - R^{2} \Leftrightarrow (x + r)^{2} + y^{2} - r^{2} = (x- R)^{2} + y^{2} - r^{2} \Leftrightarrow 2x(R + r) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть точка Р лежит на оси у.
Отметим, что доказанная лемма справедлива и в случае внутреннего касания двух окружностей. Более того, аналогичное ГМТ можно рассмотреть и в случае непересекающихся неконцентрических окружностей. В этом случае искомым ГМТ также является прямая, перпендикулярная линии центров данных окружностей. Такая прямая называется радикальной осью двух окружностей.
Пусть даны три окружности, попарно касающиеся друг друга (внутренним или внешним образом). Из доказанной леммы следует, что точка пересечения любых двух общих касательных (проведенных через общие точки касания) также будет принадлежать и третьей касательной, то есть все три общие касательные пересекаются в одной точке.
Теперь решим данную задачу.
1) Рассмотрим точку М, принадлежащую искомому ГМТ (см. рис. а). Проведем общие касательные к окружностям в точках А и В, и отметим точку С их пересечения. Через эту же точку пройдет и касательная, проведенная из точки М. Так как СА = СВ = СМ, то М - внутренняя точка дуги АВ окружности с центром С и радиусом СА.
2) Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку М указанной дуги (см. рис. в). Проведем через точку М отрезок, перпендикулярный СМ до пересечения с радиусами ОА и ОВ большей окружности в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно. Очевидно, что эти пересечения и будут являться центрами двух окружностей, касающихся друг друга в точке М, и исходной - в точках А и В.
Доказать, что искомое ГМТ является дугой некоторой окружности, можно и другим способом. Пусть $\angle AOB = \alpha$, тогда $\angle AMB = 180^{ \circ} - ( \angle AMO_{1} + \angle BMO_{2}) = (90^{ \circ} - \angle AMO_{1}) + (90^{ \circ} - \angle BMO_{2}) = \frac{1}{2} \angle AO_{1}M + \frac{1}{2} \angle BO_{2}M = \frac{1}{2} (180^{ \circ} - \alpha ) = 90^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2}$ (см рис. d). Найденный угол AMВ не зависит от выбора окружностей, поэтому точка М принадлежит ГМТ, из которых отрезок АВ виден под углом $\phi = 90^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2}$.
Ответ: внутренние точки дуги окружности с концами в точках А и В и центром в точке С пересечения касательных к большей окружности в точках А и В (см. рис. а).
На окружности с центром О отмечены точки А и В. Две другие окружности лежат внутри данной, касаются ее в точках А и В и касаются друг друга в точке М. Найдите геометрическое место точек М.
Решение:
Лемма. Пусть две окружности касаются в некоторой точке О. Тогда геометрическое место точек Р таких, что отрезки касательных, проведенных из этих точек к обеим окружностям, равны, есть общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку О.
Доказательство. 1) Если точка Р лежит на общей касательной, то она обладает требуемым свойством, поскольку отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
2) Пусть точка Р обладает данным свойством. Докажем, что она лежит на общей касательной. Для этого, например, введем систему координат так, чтобы центры окружностей лежали на оси х, а общая касательная окружностей совпала с осью у (см. рис. б). Тогда $PT_{1}^{2} = PT_{2}^{2} \Leftrightarrow PO_{1}^{2} - r^{2} = PO_{2}^{2} - R^{2} \Leftrightarrow (x + r)^{2} + y^{2} - r^{2} = (x- R)^{2} + y^{2} - r^{2} \Leftrightarrow 2x(R + r) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть точка Р лежит на оси у.
Отметим, что доказанная лемма справедлива и в случае внутреннего касания двух окружностей. Более того, аналогичное ГМТ можно рассмотреть и в случае непересекающихся неконцентрических окружностей. В этом случае искомым ГМТ также является прямая, перпендикулярная линии центров данных окружностей. Такая прямая называется радикальной осью двух окружностей.
Пусть даны три окружности, попарно касающиеся друг друга (внутренним или внешним образом). Из доказанной леммы следует, что точка пересечения любых двух общих касательных (проведенных через общие точки касания) также будет принадлежать и третьей касательной, то есть все три общие касательные пересекаются в одной точке.
Теперь решим данную задачу.
1) Рассмотрим точку М, принадлежащую искомому ГМТ (см. рис. а). Проведем общие касательные к окружностям в точках А и В, и отметим точку С их пересечения. Через эту же точку пройдет и касательная, проведенная из точки М. Так как СА = СВ = СМ, то М - внутренняя точка дуги АВ окружности с центром С и радиусом СА.
2) Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку М указанной дуги (см. рис. в). Проведем через точку М отрезок, перпендикулярный СМ до пересечения с радиусами ОА и ОВ большей окружности в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно. Очевидно, что эти пересечения и будут являться центрами двух окружностей, касающихся друг друга в точке М, и исходной - в точках А и В.
Доказать, что искомое ГМТ является дугой некоторой окружности, можно и другим способом. Пусть $\angle AOB = \alpha$, тогда $\angle AMB = 180^{ \circ} - ( \angle AMO_{1} + \angle BMO_{2}) = (90^{ \circ} - \angle AMO_{1}) + (90^{ \circ} - \angle BMO_{2}) = \frac{1}{2} \angle AO_{1}M + \frac{1}{2} \angle BO_{2}M = \frac{1}{2} (180^{ \circ} - \alpha ) = 90^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2}$ (см рис. d). Найденный угол AMВ не зависит от выбора окружностей, поэтому точка М принадлежит ГМТ, из которых отрезок АВ виден под углом $\phi = 90^{ \circ} + \frac{ \alpha}{2}$.
Ответ: внутренние точки дуги окружности с концами в точках А и В и центром в точке С пересечения касательных к большей окружности в точках А и В (см. рис. а).
