Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1435
2018-12-13 
На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма вида $1! + 2! + 3! + \cdots + n!$?
Решение:
Обозначим данную сумму $S_{n}$. Заметим, что $S_{7} = 5913$ и это число делится на $3^{3} = 27$. При меньших значениях $n$ или при $n = 8 S_{n}$ не делится на 27: $S_{1} = 1; S_{2} = 3; S_{3} = 9; S_{4} = 33; S_{5} = 153; S_{6} = 873; S_{8} = 46233$. Если $k \geq 9$, то $k!$ включает в себя произведение $3 \cdot 6 \cdot 9$, поэтому делится на 27. Таким образом, при $n \geq 9$ получим: $S_{n} = S_{7} + 8! + 9! + 10! + \cdots$. В этой сумме одно из слагаемых не делится на 27, а остальные - делятся, поэтому такая сумма не делится на 27.
Ответ: на третью степень числа 3.
На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма вида $1! + 2! + 3! + \cdots + n!$?
Решение:
Обозначим данную сумму $S_{n}$. Заметим, что $S_{7} = 5913$ и это число делится на $3^{3} = 27$. При меньших значениях $n$ или при $n = 8 S_{n}$ не делится на 27: $S_{1} = 1; S_{2} = 3; S_{3} = 9; S_{4} = 33; S_{5} = 153; S_{6} = 873; S_{8} = 46233$. Если $k \geq 9$, то $k!$ включает в себя произведение $3 \cdot 6 \cdot 9$, поэтому делится на 27. Таким образом, при $n \geq 9$ получим: $S_{n} = S_{7} + 8! + 9! + 10! + \cdots$. В этой сумме одно из слагаемых не делится на 27, а остальные - делятся, поэтому такая сумма не делится на 27.
Ответ: на третью степень числа 3.
