Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1434
2018-12-13 
В трапеции $ABCD$ точка $M$ лежит на боковой стороне $CD$ так, что $\angle ABM = \angle CBD = \angle BCD = \alpha$. Найдите длину $BM$, если $AB = b$.
Решение:
Первый способ. Из равенства $\angle CBD = \angle BCD$ следует, что BD = CD (см. рис.). Так как основания трапеции AD и ВС параллельны, то $\angle ADB = \angle CBD = \alpha$. Кроме того, если $\angle ABM = \angle CBD$, то $\angle ABD = \angle MBC$. Следовательно, треугольники ABD и МВС подобны (по двум углам). Тогда $\frac{BM}{AB} = \frac{BC}{BD} \Rightarrow BM = b \frac{BC}{BD}$. Учитывая, что треугольник ВDC равнобедренный, получим: $\frac{ \frac{1}{2} BC }{BD} = \cos \alpha$, поэтому, $BM = 2b \cos \alpha$.
Второй способ. Рассмотрим четырехугольник ABMD (см. рис.). Так как $\angle ADM + \angle ABM = \angle ADM + \angle BCD = 180^{ \circ}$, то этот четырехугольник - вписанный. Заметим, что окружность радиуса $R$, описанная около ABMD, совпадает с окружностями, описанными около треугольников ABD и MBD. Кроме того, из треугольника BDC получим, что $\angle BDM = 180^{ \circ} - 2 \alpha$. По следствию из теоремы синусов $\frac{AB}{ \sin \alpha} = \frac{BM}{ \sin (180^{ \circ} - 2 \alpha ) }$, то есть, $BM = \frac{b \sin 2 \alpha}{ \sin \alpha} = 2b \cos \alpha$.
Ответ: $BM = 2b \cos \alpha$.
В трапеции $ABCD$ точка $M$ лежит на боковой стороне $CD$ так, что $\angle ABM = \angle CBD = \angle BCD = \alpha$. Найдите длину $BM$, если $AB = b$.
Решение:
Первый способ. Из равенства $\angle CBD = \angle BCD$ следует, что BD = CD (см. рис.). Так как основания трапеции AD и ВС параллельны, то $\angle ADB = \angle CBD = \alpha$. Кроме того, если $\angle ABM = \angle CBD$, то $\angle ABD = \angle MBC$. Следовательно, треугольники ABD и МВС подобны (по двум углам). Тогда $\frac{BM}{AB} = \frac{BC}{BD} \Rightarrow BM = b \frac{BC}{BD}$. Учитывая, что треугольник ВDC равнобедренный, получим: $\frac{ \frac{1}{2} BC }{BD} = \cos \alpha$, поэтому, $BM = 2b \cos \alpha$.
Второй способ. Рассмотрим четырехугольник ABMD (см. рис.). Так как $\angle ADM + \angle ABM = \angle ADM + \angle BCD = 180^{ \circ}$, то этот четырехугольник - вписанный. Заметим, что окружность радиуса $R$, описанная около ABMD, совпадает с окружностями, описанными около треугольников ABD и MBD. Кроме того, из треугольника BDC получим, что $\angle BDM = 180^{ \circ} - 2 \alpha$. По следствию из теоремы синусов $\frac{AB}{ \sin \alpha} = \frac{BM}{ \sin (180^{ \circ} - 2 \alpha ) }$, то есть, $BM = \frac{b \sin 2 \alpha}{ \sin \alpha} = 2b \cos \alpha$.
Ответ: $BM = 2b \cos \alpha$.
