Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1431
2018-12-13 
Известно, что $a^{2} + bc = a(b + c); b^{2} + ac = b(c + a); c^{2} + ab = c(a + b)$. Докажите, что $a = b = c$.
Решение:
Первый способ. Сложим почленно первое и второе равенства. После приведения подобных слагаемых получим: $a^{2} + b^{2} = 2ab \Leftrightarrow (a - b)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = b$. Аналогично, сложив первое и третье равенства, получим, что $a = c$.
Второй способ. Сложим три данных равенства почленно. После приведения подобных слагаемых получим: $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac = 0 \Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} +2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0 \Leftrightarrow (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c$.
Известно, что $a^{2} + bc = a(b + c); b^{2} + ac = b(c + a); c^{2} + ab = c(a + b)$. Докажите, что $a = b = c$.
Решение:
Первый способ. Сложим почленно первое и второе равенства. После приведения подобных слагаемых получим: $a^{2} + b^{2} = 2ab \Leftrightarrow (a - b)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = b$. Аналогично, сложив первое и третье равенства, получим, что $a = c$.
Второй способ. Сложим три данных равенства почленно. После приведения подобных слагаемых получим: $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac = 0 \Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} +2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0 \Leftrightarrow (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c$.
