Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1429
2018-12-13 
Точку, расположенную внутри треугольника, соединили отрезками с серединами его сторон. Образовались три выпуклых четырехугольника, в два из которых можно вписать окружность. Докажите, что и в третий четырехугольник также можно вписать окружность.
Решение:
Пусть точка Р лежит внутри треугольника АВС, серединами сторон которого являются точки $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ (см. рис.). Введем следующие обозначения: $BA_{1} = CA_{1} = \frac{a}{2}; CB_{1} = AB_{1} = \frac{b}{2}; AC_{1} = BC_{1} = \frac{c}{2}; PA_{1} = x; PB_{1} = y; PC_{1} = z$.
Если для выпуклых четырехугольников $PB_{1}AC_{1}$ и $PC_{1}BA_{1}$ выполняется условие задачи, то в каждом из них равны суммы противолежащих сторон, то есть:
$\begin{cases} \frac{c}{2} + y = \frac{b}{2} + z, \\ \frac{c}{2} + x = \frac{a}{2} + z \end{cases}$.
Вычитая из первого равенства второе, получим: $y - x = \frac{b}{2} - \frac{a}{2} \Leftrightarrow y + \frac{a}{2} = x + \frac{b}{2}$. Последнее равенство есть достаточное условие того, что в выпуклый четырехугольник $A_{1}CB_{1}P$ можно вписать окружность.
Точку, расположенную внутри треугольника, соединили отрезками с серединами его сторон. Образовались три выпуклых четырехугольника, в два из которых можно вписать окружность. Докажите, что и в третий четырехугольник также можно вписать окружность.
Решение:
Пусть точка Р лежит внутри треугольника АВС, серединами сторон которого являются точки $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ (см. рис.). Введем следующие обозначения: $BA_{1} = CA_{1} = \frac{a}{2}; CB_{1} = AB_{1} = \frac{b}{2}; AC_{1} = BC_{1} = \frac{c}{2}; PA_{1} = x; PB_{1} = y; PC_{1} = z$.
Если для выпуклых четырехугольников $PB_{1}AC_{1}$ и $PC_{1}BA_{1}$ выполняется условие задачи, то в каждом из них равны суммы противолежащих сторон, то есть:
$\begin{cases} \frac{c}{2} + y = \frac{b}{2} + z, \\ \frac{c}{2} + x = \frac{a}{2} + z \end{cases}$.
Вычитая из первого равенства второе, получим: $y - x = \frac{b}{2} - \frac{a}{2} \Leftrightarrow y + \frac{a}{2} = x + \frac{b}{2}$. Последнее равенство есть достаточное условие того, что в выпуклый четырехугольник $A_{1}CB_{1}P$ можно вписать окружность.
