Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1428
2018-12-13 
Известно, что число $p$ является одним из корней квадратного уравнения $5x^{2} + bx + 10 = 0$. Выразите через $p$ корни уравнения $10x^{2} + bx + 5 = 0$.
Решение:
Заметим, что дискриминанты указанных уравнений одинаковы: $D = b^{2} - 200$, поэтому, независимо от значения $b$, если первое уравнение имеет корни, то и второе также имеет корни. Далее можно действовать различными способами.
Первый способ. Из условия следует, что выполняется числовое равенство: $5p^{2} + bp + 10 = 0$, где $p \neq 0$. Разделив его почленно на $p^{2}$, получим: $5+ \frac{b}{p} + \frac{10}{p^{2} } = 0 \Leftrightarrow 10 \left ( \frac{1}{p} \right )^{2} + b \frac{1}{p} = 0$, то есть, число $\frac{1}{p}$ является корнем второго уравнения. Другой корень второго уравнения находим по теореме Виета $\frac{1}{2} : \frac{1}{p} = \frac{p}{2}$ или $1 : \frac{2}{p} = \frac{p}{2}$.
Отметим, что можно также использовать, что оба корня вто рого уравнения являются числами, обратными корням первого.
Второй способ. Запишем корни каждого из уравнений по формулам: 1) $\frac{-b \pm \sqrt{D} }{10}$; 2) $\frac{-b \pm \sqrt{D} }{20}$. Следовательно, если один из корней первого уравнения равен $p$, то соответствующий корень второго уравнения равен $\frac{p}{2}$. Другой корень находим по теореме Виета.
Ответ: $\frac{1}{p}$ и $\frac{p}{2}$.
Известно, что число $p$ является одним из корней квадратного уравнения $5x^{2} + bx + 10 = 0$. Выразите через $p$ корни уравнения $10x^{2} + bx + 5 = 0$.
Решение:
Заметим, что дискриминанты указанных уравнений одинаковы: $D = b^{2} - 200$, поэтому, независимо от значения $b$, если первое уравнение имеет корни, то и второе также имеет корни. Далее можно действовать различными способами.
Первый способ. Из условия следует, что выполняется числовое равенство: $5p^{2} + bp + 10 = 0$, где $p \neq 0$. Разделив его почленно на $p^{2}$, получим: $5+ \frac{b}{p} + \frac{10}{p^{2} } = 0 \Leftrightarrow 10 \left ( \frac{1}{p} \right )^{2} + b \frac{1}{p} = 0$, то есть, число $\frac{1}{p}$ является корнем второго уравнения. Другой корень второго уравнения находим по теореме Виета $\frac{1}{2} : \frac{1}{p} = \frac{p}{2}$ или $1 : \frac{2}{p} = \frac{p}{2}$.
Отметим, что можно также использовать, что оба корня вто рого уравнения являются числами, обратными корням первого.
Второй способ. Запишем корни каждого из уравнений по формулам: 1) $\frac{-b \pm \sqrt{D} }{10}$; 2) $\frac{-b \pm \sqrt{D} }{20}$. Следовательно, если один из корней первого уравнения равен $p$, то соответствующий корень второго уравнения равен $\frac{p}{2}$. Другой корень находим по теореме Виета.
Ответ: $\frac{1}{p}$ и $\frac{p}{2}$.
