Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1425
2018-12-13 
Существуют ли числа $a, b, c$ и $d$, удовлетворяющие неравенству $0 < a < b < c < d$, такие что уравнения $x^{4} + bx + c = 0$ и $x^{4} + ax + d = 0$ имеют хотя бы один общий корень?
Решение:
Первый способ. Так как все коэффициенты данных уравнений - положительные числа, то неотрицательных корней эти уравнения иметь не могут. Пусть число $x_{0}$ является общим корнем данных уравнений, тогда $x_{0}^{4} + bx_{0} + c = 0$ и $x_{0}^{4} + ax_{0} + d = 0$ - верные числовые равенства. Вычтем из одного равенства другое, тогда $(b - a)x_{0} + (c - d) = 0$ - также верное числовое равенство. Следовательно, $x_{0} = \frac{d - c}{b - a} > 0$. Полученное противоречие показывает, что общих корней данные уравнения не имеют.
Второй способ. Используем графические соображения. Запишем данные уравнения в виде $x^{4} = -bx - c$ и $x^{4} = -ax - d$. Уравнения имеют общий корень тогда и только тогда, когда графики линейных функций $y = - bx - x$ и $y = - ax - d$ пересекают график функции $y = x^{4}$ в одной и той же точке. С одной стороны, так как все коэффициенты в формулах, задающих линейные функции, отрицательны, то эта точка должна лежать во II координатной четверти (см. рис.). С другой стороны, ее абсцисса является решением уравнения $- bx - c = - ax - d$, то есть $x = \frac{d - c}{b - a} > 0$. Получено противоречие.
Ответ: нет, не существуют.
Существуют ли числа $a, b, c$ и $d$, удовлетворяющие неравенству $0 < a < b < c < d$, такие что уравнения $x^{4} + bx + c = 0$ и $x^{4} + ax + d = 0$ имеют хотя бы один общий корень?
Решение:
Первый способ. Так как все коэффициенты данных уравнений - положительные числа, то неотрицательных корней эти уравнения иметь не могут. Пусть число $x_{0}$ является общим корнем данных уравнений, тогда $x_{0}^{4} + bx_{0} + c = 0$ и $x_{0}^{4} + ax_{0} + d = 0$ - верные числовые равенства. Вычтем из одного равенства другое, тогда $(b - a)x_{0} + (c - d) = 0$ - также верное числовое равенство. Следовательно, $x_{0} = \frac{d - c}{b - a} > 0$. Полученное противоречие показывает, что общих корней данные уравнения не имеют.
Второй способ. Используем графические соображения. Запишем данные уравнения в виде $x^{4} = -bx - c$ и $x^{4} = -ax - d$. Уравнения имеют общий корень тогда и только тогда, когда графики линейных функций $y = - bx - x$ и $y = - ax - d$ пересекают график функции $y = x^{4}$ в одной и той же точке. С одной стороны, так как все коэффициенты в формулах, задающих линейные функции, отрицательны, то эта точка должна лежать во II координатной четверти (см. рис.). С другой стороны, ее абсцисса является решением уравнения $- bx - c = - ax - d$, то есть $x = \frac{d - c}{b - a} > 0$. Получено противоречие.
Ответ: нет, не существуют.
