Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1424
2018-12-13 
Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?
Решение:
Предположим, что все цифры полученного числа различны, тогда это цифры $0,1, 2, \cdots , 9$, взятые по одному разу. Сумма этих цифр равна 45, то есть, полученное десятизначное число делится на 9. Простое число, которое возвели в четвертую степень, очевидно, не равно трем, поэтому не делится на 3. Следовательно, и десятизначное число не делится на 3, а значит не делится и на 9. Таким образом, оно имеет в своей записи хотя бы две одинаковые цифры.
Ответ: нет, не могут.
Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?
Решение:
Предположим, что все цифры полученного числа различны, тогда это цифры $0,1, 2, \cdots , 9$, взятые по одному разу. Сумма этих цифр равна 45, то есть, полученное десятизначное число делится на 9. Простое число, которое возвели в четвертую степень, очевидно, не равно трем, поэтому не делится на 3. Следовательно, и десятизначное число не делится на 3, а значит не делится и на 9. Таким образом, оно имеет в своей записи хотя бы две одинаковые цифры.
Ответ: нет, не могут.
