Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1423
2018-12-13 
Существует ли треугольник, в котором радиус описанной окружности равен радиусу вневписанной окружности (то есть, окружности, касающейся одной из его сторон и продолжений двух других)?
Решение:
Рассмотрим, например, равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (см. рис. а). Возможны различные способы доказательства того, что он удовлетворяет условию.
Первый способ. Середина О гипотенузы АВ треугольника является центром описанной около него окружности, а ее радиус $R = CO$, причем СО является также и высотой треугольника. Центр Q окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АС и АВ, является точкой пересечения биссектрис внешних углов В и С треугольника. Так как биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию, то $CQ \parallel AB$. Расстояние QM от точки Q до прямой АВ равно радиусу $r$ вневписанной окружности и равно СО.
Второй способ. Пусть $a, b$ и $c$ - длины сторон треугольника АВС (см. рис. б), тогда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} c$. Рассмотрим вневписанную окружность с центром Q и радиусом $r$, касающуюся стороны ВС. Если $B_{1}$ и $C_{1}$ - точки ее касания с продолжениями сторон АС и АВ, то из равенства касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что $AB_{1} = AC + CA_{1} = AC_{1} = AB + BA_{1}$, откуда $AB_{1} = AC_{1} = p \frac{a + b + c}{2}$. Кроме того, так как в нашем примере $\angle B_{1}CB = 90^{ \circ}$, то $QA_{1}CB_{1}$ - квадрат, поэтому $CB_{1} = r$. Таким образом, $r = p - b = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{1}{2}c$, поскольку мы рассматриваем треугольник, в котором $a = b$.
Существуют и другие примеры, в том числе не равнобедренных и не прямоугольных треугольников, удовлетворяющие условию, wo построить их существенно сложнее.
Ответ: да, существует.
Существует ли треугольник, в котором радиус описанной окружности равен радиусу вневписанной окружности (то есть, окружности, касающейся одной из его сторон и продолжений двух других)?
Решение:
Рассмотрим, например, равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (см. рис. а). Возможны различные способы доказательства того, что он удовлетворяет условию.
Первый способ. Середина О гипотенузы АВ треугольника является центром описанной около него окружности, а ее радиус $R = CO$, причем СО является также и высотой треугольника. Центр Q окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АС и АВ, является точкой пересечения биссектрис внешних углов В и С треугольника. Так как биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию, то $CQ \parallel AB$. Расстояние QM от точки Q до прямой АВ равно радиусу $r$ вневписанной окружности и равно СО.
Второй способ. Пусть $a, b$ и $c$ - длины сторон треугольника АВС (см. рис. б), тогда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} c$. Рассмотрим вневписанную окружность с центром Q и радиусом $r$, касающуюся стороны ВС. Если $B_{1}$ и $C_{1}$ - точки ее касания с продолжениями сторон АС и АВ, то из равенства касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что $AB_{1} = AC + CA_{1} = AC_{1} = AB + BA_{1}$, откуда $AB_{1} = AC_{1} = p \frac{a + b + c}{2}$. Кроме того, так как в нашем примере $\angle B_{1}CB = 90^{ \circ}$, то $QA_{1}CB_{1}$ - квадрат, поэтому $CB_{1} = r$. Таким образом, $r = p - b = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{1}{2}c$, поскольку мы рассматриваем треугольник, в котором $a = b$.
Существуют и другие примеры, в том числе не равнобедренных и не прямоугольных треугольников, удовлетворяющие условию, wo построить их существенно сложнее.
Ответ: да, существует.
