Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1422
2018-12-13 
На прямой сначала отметили 100 точек, затем отметили середины всех отрезков с концами в ранее отмеченных точках. Какое наименьшее количество точек могло получиться в итоге?
Решение:
Отмеченные вначале сто точек образуют, помимо прочих, 99 отрезков с концами в соседних точках. Середины этих отрезков не могли быть отмечены ранее, поэтому меньше, чем 99 точек к уже отмеченным ста точкам добавиться не могут. Покажем, что 199 точек получиться могло. Пусть отмеченные сначала 100 точек расположены на координатной прямой так, что имеют координаты $1, 2, 3, \cdots , 99, 100$. Координата середины отрезка АВ вычисляется по формуле $\frac{x_{A} + x_{B} }{2}$ поэтому середина любого отрезка с концами в этих точках имеет либо целую, либо полуцелую координату х такую, что $1 \leq x \leq 100$. Таких значений $x$ ровно 199.
Ответ: 199.
На прямой сначала отметили 100 точек, затем отметили середины всех отрезков с концами в ранее отмеченных точках. Какое наименьшее количество точек могло получиться в итоге?
Решение:
Отмеченные вначале сто точек образуют, помимо прочих, 99 отрезков с концами в соседних точках. Середины этих отрезков не могли быть отмечены ранее, поэтому меньше, чем 99 точек к уже отмеченным ста точкам добавиться не могут. Покажем, что 199 точек получиться могло. Пусть отмеченные сначала 100 точек расположены на координатной прямой так, что имеют координаты $1, 2, 3, \cdots , 99, 100$. Координата середины отрезка АВ вычисляется по формуле $\frac{x_{A} + x_{B} }{2}$ поэтому середина любого отрезка с концами в этих точках имеет либо целую, либо полуцелую координату х такую, что $1 \leq x \leq 100$. Таких значений $x$ ровно 199.
Ответ: 199.
