Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1421
2018-12-13 
В треугольнике $ABC$ точка $M$ - середина $AC, MD$ и $ME$ - биссектрисы треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $F$. Найдите $MF$, если $DE = d$.
Решение:
По свойству биссектрисы из треугольников AMВ и СМВ (см. рис.) получим, что $\frac{AD}{BD} = \frac{AM}{BM}$ и $\frac{CE}{BE} = \frac{CM}{BM}$. По условию, AM = CM, значит, $\frac{AD}{BD} = \frac{CE}{BE}$, следовательно, $DE \parallel AC$ (по теореме, обратной теореме Фалеса, для угла АВС или же из подобия треугольников DBE и АВС). Тогда F - середина отрезка DE. Так как MD и ME - биссектрисы смежных углов, то треугольник DMЕ - прямоугольный. Его медиана MF, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы DE.
Ответ: $0,5d$.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ - середина $AC, MD$ и $ME$ - биссектрисы треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $F$. Найдите $MF$, если $DE = d$.
Решение:
По свойству биссектрисы из треугольников AMВ и СМВ (см. рис.) получим, что $\frac{AD}{BD} = \frac{AM}{BM}$ и $\frac{CE}{BE} = \frac{CM}{BM}$. По условию, AM = CM, значит, $\frac{AD}{BD} = \frac{CE}{BE}$, следовательно, $DE \parallel AC$ (по теореме, обратной теореме Фалеса, для угла АВС или же из подобия треугольников DBE и АВС). Тогда F - середина отрезка DE. Так как MD и ME - биссектрисы смежных углов, то треугольник DMЕ - прямоугольный. Его медиана MF, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы DE.
Ответ: $0,5d$.
